Дифференциальный бином

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

• ${\displaystyle p}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle x=t^{k}}$, ${\displaystyle k}$ — общий знаменатель дробей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$;
• ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$.
• ${\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$.

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

${\displaystyle I={\frac {1}{n}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}\cdot B_{y}\left({\frac {m+1}{n}},p+1\right),}$

где ${\displaystyle y=-{\tfrac {b}{a}}x^{n}}$, а также через гипергеометрическую функцию:

${\displaystyle I={\frac {1}{m+1}}a^{p}\left(-{\frac {a}{b}}\right)^{(m+1)/n}y^{(m+1)/n}\cdot {}_{2}F_{1}\left({\frac {m+1}{n}},-p;{\frac {m+1}{n}}+1;y\right).}$

Интеграл

${\displaystyle \int {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}dx}$

не выражается в элементарных функциях, здесь ${\displaystyle m=0,n=2,p={1 \over 3}}$, и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

${\displaystyle \int {\sqrt {1+x^{2}}}dx={x{\sqrt {x^{2}+1}} \over 2}+{1 \over 2}\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C}$,

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь ${\displaystyle m=0,n=2,p={1 \over 2}}$, и ${\displaystyle {m+1 \over n}+p=1}$, то есть является целым числом.

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году^[1].