Преобразование Гегенбауэра

Преобразование Гегенбауэра — интегральное преобразование ${\displaystyle T\left\{F(t)\right\}}$ функции ${\displaystyle F(t)}$:

${\displaystyle T\left\{F(t)\right\}=\int \limits _{-1}^{+1}(1-t^{2})^{\rho -1/2}C_{n}^{\rho }(t)F(t)dt=f_{n}^{\rho },}$

${\displaystyle \rho >-1/2,~n=0,~1,~2,~\ldots ,}$

где ${\displaystyle C_{n}^{\rho }(t)}$ — многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то имеет место формула обращения

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=0}^{\mathcal {1}}{{n!(n+\rho )\Gamma ^{2}(\rho )2^{2\rho -1}} \over {\pi \Gamma (n+2\rho )}}C_{n}^{\rho }(t)f_{n}^{\rho }(t),~-1<t<1}$

Преобразование Гегенбауэра сводит дифференциальную операцию

${\displaystyle R\left[F(t)\right]=(1-t^{2})F^{\prime \prime }-(2\rho +1)tF^{\prime }}$

к алгебраической

${\displaystyle T\left\{R\left[F(t)\right]\right\}=-n(n+2\rho )f_{n}^{\rho }}$

Названо в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).