Зависящий от параметра интеграл

Рассмотрим приращение интеграла, зависящего от параметра. ${\displaystyle \Delta I\left(y\right)=I\left(y+\Delta y\right)-I\left(y\right)=\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y+\Delta y\right)\,dx-\int \limits _{a}^{b}f\left(x,y\right)\,dx=}$

${\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}\left(f\left(x,y+\Delta y\right)-f\left(x,y\right)\right)\,dx}$.

По теореме Кантора, непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нём, то есть ${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \delta =\delta \left(\epsilon \right)>0\,\forall M_{1}(x_{1},y_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2})\in {\overline {G}}:}$

${\displaystyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}<\delta \,\left|f(M_{1})-f(M_{2})\right|<\epsilon }$.

Следовательно, ${\displaystyle \Delta I(y)<\epsilon (b-a)}$ при ${\displaystyle \Delta y<\delta }$, что и означает непрерывность функции

${\displaystyle {\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}={\frac {1}{\Delta y}}\int \limits _{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\eta )dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\Theta \Delta y)dx}$ ${\displaystyle (\eta \in [y;y+\Delta y],\Theta \in [0;1])}$ Данные преобразования были выполнены с использованием теоремы о среднем Лагранжа. Рассмотрим теперь выражение ${\displaystyle {\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=\int \limits _{a}^{b}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y+\Theta \Delta y\right)-{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\right)\,dx}$.

Используя вновь теорему Кантора, но для функции ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ мы получаем, что ${\displaystyle {\frac {\Delta I(y)}{\Delta y}}-\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(x,y\right)\,dx=o(1)}$ при ${\displaystyle \Delta (y)\to 0}$, что и доказывает данную теорему

Рассмотрим две функции:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}\left(\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle G(x)=\int \limits _{c}^{d}\left(\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy}$

${\displaystyle {\frac {dG}{dx}}=\int \limits _{c}^{d}\left({\frac {d}{dx}}\int \limits _{a}^{x}f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int \limits _{c}^{d}f(x,y)\,dy}$

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}\equiv {\frac {dG}{dx}}}$ на ${\displaystyle [a;b]}$, следовательно ${\displaystyle F(x)\equiv G(x)+C}$.

Так как ${\displaystyle F(a)=0,\;G(a)=\int \limits _{c}^{d}0\;dy=0}$, то ${\displaystyle C=0}$ и ${\displaystyle F(x)\equiv G(x)}$ На ${\displaystyle [a;b]}$. Подставляя ${\displaystyle x=b}$ получаем условие теоремы.