Интегралы Дарбу

Понятие определённого интеграла ввёл Б. Риман («Мемуар о тригонометрических функциях», 1854 г.). Дарбу развил его идеи (1875). В тот год несколько математиков приходят к одинаковой формулировке условия интегрируемости функции и вводят, с разной степенью подробности и строгости, нижние и верхние интегральные суммы (а также верхний и нижний интегралы). Современные обозначения интегральных сумм ввёл Дарбу. Термин «суммы Дарбу» ввёл, предположительно, Жордан^[1].

Для определения интегралов Дарбу необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу^[2].

Пусть действительная функция ${\displaystyle f(x)}$ определена и ограничена на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle \tau =\{x_{i}\}_{i=0}^{i=k}}$ — его разбиение: ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{i-1}<x_{i}<...<x_{k}=b}$.

Частичный отрезок ${\displaystyle \Delta _{i}}$(${\displaystyle i=1,...,n}$) разбиения ${\displaystyle \tau }$ представляет собой ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$. Точные грани функции на частичном отрезке ${\displaystyle \Delta _{i}}$ обозначают ${\displaystyle m_{i}}$ — нижняя грань (минимум) функции и ${\displaystyle M_{i}}$ — точная верхняя грань (максимум) функции: ${\displaystyle {{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$ и ${\displaystyle {{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)}$.

Суммы ${\displaystyle s_{\tau }=\sum _{i=1}^{k}m_{i}\Delta x_{i}}$ и ${\displaystyle S_{\tau }=\sum _{i=1}^{k}M_{i}\Delta x_{i}}$ называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой (или суммой Дарбу) функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, соответствующие разбиению ${\displaystyle \tau }$ этого отрезка .

Геометрический смысл нижней и верхней сумм Дарбу заключается в том, что они равны площадям ступенчатых фигур, состоящих из прямоугольников с основаниями длины ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ и высотами соответственно ${\displaystyle {{m}_{i}}}$ и ${\displaystyle {{M}_{i}}}$. Эти фигуры в случае, когда ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$, аппроксимируют изнутри и извне криволинейную трапецию, образованную графиком функции ${\displaystyle f(x)}$, осью абсцисс и отрезками прямых ${\displaystyle x=a}$ и ${\displaystyle x=b}$ (которые могут вырождаться в точки).

Нижняя (зелёная) и верхняя (серая) суммы Дарбу на четырёх отрезках разбиения

• Для любых двух разбиений ${\displaystyle \tau }$ и ${\displaystyle \tau '}$ отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении, то есть любая нижняя сумма Дарбу меньше верхней: ${\displaystyle s_{\tau }\leqslant S_{\tau }'}$,

Поведение нижней (зелёная) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения

• Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться: ${\displaystyle s\leqslant s'}$ и ${\displaystyle S'\leqslant S}$^[3].
• Если ${\displaystyle \sigma _{\tau }=\sum _{i=1}^{k}f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$, ${\displaystyle \xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ — интегральная сумма Римана, то ${\displaystyle s_{\tau }=\inf _{\xi _{i},...,\xi _{k}}\sigma _{\tau }}$, ${\displaystyle S_{\tau }=\sup _{\xi _{i},...,\xi _{k}}\sigma _{\tau }}$^[2].

Любая верхняя сумма не меньше некоторой фиксированной нижней суммы, следовательно, множество ${\displaystyle \{S\}}$ верхних сумм ограничено снизу. Любая нижняя сумма не превосходит какую-либо верхнюю сумму, и поэтому множество ${\displaystyle \{s\}}$ нижних сумм ограничено сверху^[4].

Символ ${\displaystyle I^{*}}$ (встречается также ${\displaystyle {\overline {I}}}$) обозначает точную нижнюю грань множества ${\displaystyle \{S\}}$ верхних сумм ${\displaystyle I^{*}=\inf\{S\}}$, а ${\displaystyle I_{*}}$ (или ${\displaystyle {\underline {I}}}$) — точную верхнюю грань множества ${\displaystyle \{s\}}$ нижних сумм ${\displaystyle I_{*}=\sup\{s\}}$^[5].

Числа  ${\displaystyle I^{*}}$ ( ${\displaystyle {\overline {I}}}$)  и  ${\displaystyle I_{*}}$ ( ${\displaystyle {\underline {I}}}$)  называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции ${\displaystyle f(x)}$.  

Интегралы Дарбу являются пределами нижних и верхних сумм Дарбу.

Используемые свойства сумм^[5]

• Пусть разбиение ${\displaystyle T'}$ сегмента ${\displaystyle [a,b]}$ получено из разбиения ${\displaystyle T}$ добавлением к последнему ${\displaystyle p}$ новых точек, и пусть ${\displaystyle s'}$, ${\displaystyle S'}$ и ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle S}$ — соответственно нижние и верхние суммы разбиений ${\displaystyle T'}$ и ${\displaystyle T}$. Тогда для разностей ${\displaystyle S-S'}$ и ${\displaystyle s'-s}$ может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины ${\displaystyle \Delta }$ частичных сегментов разбиения ${\displaystyle T}$, числа ${\displaystyle p}$ добавленных точек и точных верхней и нижней граней ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ функции ${\displaystyle f(x)}$ на сегменте ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle S-S'\leqslant (M-m)p\Delta }$, ${\displaystyle s'-s\leqslant (M-m)p\Delta }$.

• Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной аналогии с понятием предела интегральных сумм.

Число ${\displaystyle {\overline {I}}}$ называется пределом верхних сумм ${\displaystyle S}$ при ${\displaystyle \Delta \to 0}$, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно указать такое положительное число ${\displaystyle \delta }$, что при ${\displaystyle \Delta <\delta }$ выполняется неравенство ${\displaystyle |S-{\overline {I}}|<\varepsilon }$.

Формулировка леммы

Верхний ${\displaystyle I^{*}}$ и нижний ${\displaystyle I_{*}}$ интегралы Дарбу от функции ${\displaystyle f(x)}$ по сегменту ${\displaystyle [a,b]}$ являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при ${\displaystyle \Delta \to 0}$: ${\displaystyle I^{*}=\lim _{\sigma _{\tau }\to 0}S_{\tau }}$, ${\displaystyle I_{*}=\lim _{\sigma _{\tau }\to 0}s_{\tau }}$, где ${\displaystyle \sigma _{\tau }=\max \,\Delta x_{i}(i=1,2,...,k)}$ — мелкость разбиения ${\displaystyle \tau }$.

• Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны. Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен ${\displaystyle +\infty }$, для неограниченной снизу нижний интеграл равен ${\displaystyle -\infty }$.
• Верно следующее неравенство ${\displaystyle I_{*}\leqslant I^{*}}$.
• Для любых верхней и нижней сумм Дарбу и интегралов верны неравенства: ${\displaystyle s\leqslant I_{*}\leqslant I^{*}\leqslant S}$^[6].

Условие ${\displaystyle I_{*}=I^{*}}$ является необходимым и достаточным для того, чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ была интегрируема по Риману на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$. При этом в случае выполнения этого условия значение нижнего и верхнего интегралов Дарбу совпадает с интегралом Римана ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Условие легко формулируется с помощью сумм Дарбу.

Для существования определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы было ${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}(S-s)=0}$.

Если обозначить колебание ${\displaystyle M_{i}-m_{i}}$ функции в ${\displaystyle i}$-ом частичном промежутке через ${\displaystyle \omega _{i}}$, то получают следующее выражение ${\displaystyle S-s=\sum _{i=0}^{n-1}(M_{i}-m_{i})\Delta x_{i}=\sum _{i=0}^{n-1}\omega _{i}\Delta x_{i}}$ и условие существования интеграла записывают так:

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}\sum _{i=0}^{n-1}\omega _{i}\Delta x_{i}=0}$.

В этой форме оно обычно и применяется^[6].

Понятие нижних и верхних сумм Дарбу обобщается на случай функций многих переменных, измеримых в смысле некоторой положительной меры ${\displaystyle \mu }$. Пусть ${\displaystyle E}$ — измеримое (например, по Жордану или по Лебегу) множество ${\displaystyle n}$-мерного пространства ${\displaystyle n=1,2,...,\,\tau =\{E_{i}\}_{i=1}^{i=k}}$ — разбиение множества ${\displaystyle E}$, то есть система таких измеримых множеств ${\displaystyle E}$, что ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{k}E_{i}=E}$, ${\displaystyle \mu (E_{i}\cap E_{i'})=0}$ при ${\displaystyle i\neq i'}$.

Пусть функция ${\displaystyle f}$ ограничена на множестве ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle {{m}_{i}}=\inf _{x\in E_{i}}f(x)}$, ${\displaystyle {{M}_{i}}=\sup _{x\in E_{i}}f(x)}$, ${\displaystyle i=1,2,...,k}$.

Суммы ${\displaystyle s_{\tau }=\sum _{i=1}^{k}m_{i}\mu (E_{i})}$ и ${\displaystyle S_{\tau }=\sum _{i=1}^{k}M_{i}\mu (E_{i})}$ также называются нижней и верхней суммами Дарбу.

Нижний и верхний интегралы определяются по формулам ${\displaystyle I_{*}=\sup _{\tau }s_{\tau }}$ и ${\displaystyle I^{*}=\inf _{\tau }S_{\tau }}$. В случае меры Жордана их равенство является необходимым и достаточным условием интегрируемости функции по Риману, причём их общее значение совпадает с интегралом Римана. В случае же меры Лебега для ограниченных измеримых по Лебегу функций всегда ${\displaystyle I_{*}=I^{*}=\int _{E}f(x)dx}$^[7].

Обобщением сумм Дарбу для неограниченных ${\displaystyle \mu }$-измеримых функций ${\displaystyle f}$, определённых на множествах ${\displaystyle E\in {\mathfrak {G}}_{\mu }}$, являются ряды (если они абсолютно сходятся) ${\displaystyle s_{\tau }=\sum _{i=1}^{\infty }m_{i}\mu (E_{i})}$ и ${\displaystyle S_{\tau }=\sum _{i=1}^{\infty }M_{i}\mu (E_{i})}$, где ${\textstyle \tau =\{E_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — разбиение множества ${\displaystyle E\in {\mathfrak {G}}_{\mu }}$ (это разбиение состоит из бесконечного числа ${\displaystyle \mu }$-измеримых множеств ${\displaystyle E_{i}}$). В этом случае, когда ${\displaystyle I=I_{*}=I^{*}}$ является конечной, функция ${\displaystyle f}$ интегрируема по мере ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle I=\int _{E}f(x)d\mu }$^[8].

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть ${\displaystyle G}$ — измеримое по Жордану множество, ${\displaystyle \tau }$ — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

${\displaystyle \tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}}$

За ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ обозначим меру Жордана ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

Множество всех разбиений ${\displaystyle G}$ будем обозначать ${\displaystyle T}$.

Диаметр разбиения ${\displaystyle d}$ определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

${\displaystyle \max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|x-y|}$.

Нижней суммой Дарбу ${\displaystyle s(f,\tau )}$ функции ${\displaystyle f}$ на разбиении ${\displaystyle \tau }$ называется

${\displaystyle s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}$

Верхней суммой Дарбу ${\displaystyle S(f,\tau )}$ называется

${\displaystyle S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}$

Тогда нижним интегралом Дарбу ${\displaystyle I_{*}}$ называется

${\displaystyle I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )}$

Верхним интегралом Дарбу ${\displaystyle I^{*}}$ называется

${\displaystyle I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )}$

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.