Перельман, Григорий Яковлевич

Защитив в 1990 году кандидатскую диссертацию, работал научным сотрудником в лаборатории геометрии и топологии ПОМИ РАН. Специализировался на пространствах Александрова с ограниченной снизу кривизной. По рекомендации Юрия Бураго и Михаила Громова провёл несколько месяцев в Институте высших научных исследований (IHES) (Франция)^[10][14].

В 1991 году по инициативе Громова Перельмана пригласили в США выступить на Фестивале по геометрии, проходившем в Университете Дьюка в Дареме (Северная Каролина), где он прочитал лекцию о своей работе по пространствам Александрова. Этот доклад лёг в основу его первой большой статьи, написанной совместно с Бураго и Громовым, «Пространства А. Д. Александрова с ограниченной снизу кривизной», опубликованной в 1992 году в журнале Russian Mathematical Surveys^[10][14].

В 1992—1995 годах работал преподавателем в США (Курантовский институт, Университет Стони-Брук, Беркли)^[10][9].

С осени 1992 года Перельман стажировался в Курантовском институте, где была сильная школа геометрии, и продолжал работу над пространствами Александрова. Раз в неделю вместе с коллегой — китайским математиком Тянь Ганом — Перельман ездил на семинар Институте перспективных исследований (ИПИ) в Принстон, который был центром топологической науки.

В 1994 году учёный, по выражению математиков, с «захватывающей дух красотой», разрешил одну из проблем римановой геометрии, доказав так называемую гипотезу «о душе» Джеффа Чигера—Детлефа Громола, сформулированную в 1972 году^[15]. Учёный проделал то, что дети из математического кружка Рукшина называли «дубинкой Перельмана»: выделив суть задачи, он упростил её, а затем кратко решил. Его доказательство было опубликовано в статье, занявшей всего четыре страницы.

По словам Чигера, назвавшего Перельмана «могучим и проницательным умом», который «не агрессивен, а, скорее, самоуверен», «задача оказалась не так уж сложна, как мы думали»^[16].

Весенний семестр 1994 года он провёл в одном из наиболее известных математических центров — Университете Стони-Брук, где читал лекции по геометрии пространств Александрова. Летом поехал на Международный конгресс математиков в Цюрих, на который приглашают 55 самых известных математиков мира, призванных определить четырёх медалистов премии Филдса. Перельман представил доклад, который был основан на статье, созданной в соавторстве с Бураго и Громовым. Однако его выступление оказалось неудачным.

Осенью 1993 года Перельман отправился на двухгодичную стажировку в Калифорнийский университет Беркли, где получил стипендию Института Миллера. Во время стажировки он посетил цикл лекций Ричарда Гамильтона, предложившего в 1982 году возможное доказательство одной из фундаментальных задач математики (в области математической топологии) — гипотезы Пуанкаре, связанное с потоком Риччи. После лекции российский учёный побеседовал с исследователем:

Мне очень хотелось кое-что у него спросить. Он улыбался и был очень терпелив. Он даже рассказал мне кое-что из того, что опубликовал несколько лет спустя. Он без колебаний делился со мной своими мыслями. Открытость и щедрость Гамильтона — вот что меня по-настоящему привлекало. Не могу сказать, что большинство математиков ведут себя так же. Я работал над разными задачами, но иногда вспоминал о потоке Риччи. Не нужно быть великим математиком, чтобы понять, что это может быть полезно для геометризации. Я чувствовал, что многого не знаю. Я продолжал задавать вопросы^[9].

Отклонив предложения о работе в университетах США (Принстон, Стэнфорд) и Израиля (Тель-Авивский университет), летом 1995 года вернулся в Санкт-Петербург на должность старшего научного сотрудника ПОМИ РАН^[10][16].

С 1995 по 2002 год Перельман практически полностью прекратил публикации и контакты с коллегами, сосредоточившись на решении гипотезы Пуанкаре.

Гипотеза, выдвинутая в 1904 году французским математиком Анри Пуанкаре (1854—1912) была сформулирована следующим образом: «Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». Задача посвящена возможности изменения формы объекта при помощи непрерывной трансформации, но так, чтобы он не лишился своих топологических свойств.

Прочитав опубликованную в 1995 году статью Гамильтона, в которой тот развивал некоторые идеи по решению задачи Пуанкаре, Перельман понял, что тот не продвинулся в решении. В следующем году он сообщил Гамильтону, что, возможно, нашёл способ решить проблему, и предложил ему сотрудничество. Не получив ответа, Перельман начал работать над решением гипотезы в одиночку^[16].

В 1996 году учёный отказался получать присуждённую ему премию Европейского математического общества для молодых математиков.

11 ноября 2002 года Перельман опубликовал на сайте arXiv.org статью «Формула энтропии для потока Риччи и её геометрические приложения»^[17], где предложил оригинальный метод исследования сингулярностей потока Риччи, введя функционал энтропии. Этот текст стал первым из трёх препринтов, в которые были представлены итоги его семилетней работы по доказательству гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации^[16].

В марте 2003 года опубликовал «Поток Риччи с хирургией на трёхмерных многообразиях»^[18], описывающую топологическую перестройку многообразия в точках сингулярности. В июле 2003 года выложил третью часть — «Конечное время затухания для решений потока Риччи на некоторых трёхмерных многообразиях»^[10].

В своих статьях Перельман развил и довёл до конца метод изучения потока Риччи, предложенный Ричардом Гамильтоном. Метод получил название теории Гамильтона — Перельмана. Эти три статьи содержали полное доказательство гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации Тёрстона.

Публикации Григория Перельмана не получили статуса официальной научной публикации, поскольку arXiv.org не относится к рецензируемым изданиям. Однако его работы вызвали значительный интерес среди специалистов^[8].

Весной 2003 года он принял приглашение и посетил США с серией лекций в Массачусетском технологическом институте, Принстоне, Стони-Брук и Колумбийском университете^[9], в ходе которых подробно отвечал на любые технические вопросы слушателей^[19]. Отклонив все поступившие ему предложения о должности профессора, Перельман вернулся в Россию, где был назначен ведущим научным сотрудником ПОМИ РАН. В декабре 2005 года он уволился из института и прервал контакты с коллегами, заявив о желании оставить теоретическую математику^[10].

Перельман внёс решающий вклад в теорию пространств Александрова. Совместная работа с Юрием Бураго и Михаилом Громовым (1992) разработала аналитические инструменты для изучения глобальной структуры таких пространств^[22]. Его доказательство гипотезы «о душе» (1994) показало, что полное некомпактное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной диффеоморфно векторному расслоению над компактным вполне геодезическим подмногообразием^[14][15].

Гипотеза Пуанкаре (1904) утверждает, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Задача входила в список семи «проблем тысячелетия» Института Клэя (награда 1 млн долларов).

Перельман доказал гипотезу, используя потоки Риччи — нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие деформацию римановой метрики^[21]. Главной сложностью было возникновение сингулярностей. Перельман разработал метод «хирургии», позволяющий вырезать сингулярности и продолжать поток^[18].

Идея потоков Риччи принадлежала Ричарду Гамильтону (1982), но он остановился перед проблемой классификации сингулярностей. Перельман преодолел это, введя функционал энтропии и доказав теорему о локальной несхлопываемости^[17]. Он показал, что сингулярности имеют контролируемую структуру и устраняются «хирургией», завершив программу Гамильтона и доказав гипотезу геометризации Тёрстона^[14][21].