Александровская геометрия

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгера.^[1] Эта работа была забыта вплоть до 80-ых годов^[2].

Похожие определения были переоткрыты Александром Даниловичем Александровым^{[3] [4]}. Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Гербертом Буземаном^[5].

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

• Двумерные пространства с кривизной, ограниченной снизу;
• Пространства произвольной размерности с кривизной, ограниченной сверху.
  • Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.

Пространства произвольной размерности с ограниченной снизу кривизной начали изучать только в конце 90-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Дмитриевичем Бураго, Михаилом Леонидовичем Громовым и Григорием Яковлевичем Перельманом^[6].

Треугольник сравнения для тройки точек ${\displaystyle xyz}$ метрического пространства ${\displaystyle X}$ это треугольник ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ на евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}$ с теми же длинами сторон; то есть

${\displaystyle {\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}}$

Угол при вершине ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ в треугольнике сравнения ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]}$ называются углом сравнения тройки ${\displaystyle xyz}$ и обозначаются ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})}$.

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства ${\displaystyle X}$ с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Первое неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек ${\displaystyle x,y,p,q\in X}$ рассмотрим пару треугольников сравнения ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ и ${\displaystyle [{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ тогда для произвольной точки ${\displaystyle {\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]}$ выполняется неравенство

${\displaystyle |x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.}$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет ${\displaystyle \mathrm {CAT} [0]}$-неравенству. Полное пространство, удовлетворяющие ${\displaystyle \mathrm {CAT} [0]}$-неравенству, называется пространством Адамара. В случае локального выполнения этого неравенства, говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Второе неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек ${\displaystyle p,x,y,z\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .}$

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет ${\displaystyle \mathrm {CBB} [0]}$-неравенству или говорят, что пространство имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Вместо евклидовой плоскости можно взять пространство ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ — модельную плоскость кривизны ${\displaystyle k}$. То есть

• ${\displaystyle \mathbb {M} [0]}$ есть евклидова плоскость,
• ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ при ${\displaystyle k>0}$ есть сфера радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$,
• ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ при ${\displaystyle k<0}$ есть плоскость Лобачевского кривизны ${\displaystyle k}$.

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT[k] и CBB[k] пространств и пространств кривизной ${\displaystyle \leq k}$ и ${\displaystyle \geq k}$ в смысле Александрова В случае ${\displaystyle k>0}$, треугольник сравнения тройки ${\displaystyle (xyz)}$ считается определённым если выполнено следующее неравенство

${\displaystyle |x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}}$.

• Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения

• Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путём склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам.

• Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств.

• Теорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана.

• Теорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.