Задачи тысячелетия
Зада́чи тысячеле́тия — семь математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет»[1].
Задачи охватывают различные математические области, такие как алгебраическая геометрия, физика элементарных частиц, гидродинамика, геометрическая топология, теория чисел, уравнения эллиптических кривых и теория алгоритмов. За решение каждой задачи обещано вознаграждение в $1 млн[2].
Существует историческая связь задач тысячелетия со списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке: из 23 проблем Гильберта большинство уже решены, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия[2].
Задачи тысячелетия являются принципиальными для развития математики: если удастся их решить, то, по мнению исследователей Института Клэя, «человечество сделает шаг вперёд в освоении воздушного и космического пространства и криптографии»[3]. По состоянию на 2023 год решена лишь одна из семи задач — гипотеза Пуанкаре[4].
Решённые задачи
Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации[5].
Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману[6], опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался принять эту премию, как и ранее отказался от Филдсовской премии[7].
Нерешённые задачи
Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов[8].
Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями[9].
Гипотеза гласит, что все нетривиальные (имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть ½. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет Института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз)[10][11].
Задача из области физики элементарных частиц[12]. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы квантовая теория Янга — Миллса для пространства (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую спектральную щель. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось[13].
Уравнения Навье — Стокса, являющиеся одной из важнейших задач гидродинамики, описывают движение вязкой жидкости [12][14].
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений[12].
Литература
- Стюарт И. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
- Devlin K. J. The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time (англ.). — [S. l.]: Basic Books, 2003. — ISBN 0-465-01729-0.
- Jaffe A. M. The Millennium Grand Challenge in Mathematics (англ.) // Notices of the AMS. — 2006. — Vol. 53, No. 6. — P. 652–660.
- The Millennium Prize Problems (англ.) / ed. by J. Carlson, A. Jaffe, W. Andrew. — Cambridge: American Mathematic Society, Providence, RI, 2006. — P. 160. — ISBN 978-0-8218-3679-8.
Примечания
Ссылки
- Задачи тысячелетия (англ.) на сайте Clay Mathematics Institute
- Вершик А. М. Что полезно математике? Размышления о премиях Clay Millenium. Санкт-Петербургское математическое общество (10 октября 2006). Дата обращения: 22 декабря 2023.