Задачи тысячелетия

Считается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации^[5].

Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману^[6], опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался принять эту премию, как и ранее отказался от Филдсовской премии^[7].

Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов^[8].

Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями^[9].

Гипотеза гласит, что все нетривиальные (имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть ½. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет Института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз)^[10][11].

Задача из области физики элементарных частиц^[12]. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы ${\displaystyle G}$ квантовая теория Янга — Миллса для пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую спектральную щель. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось^[13].

Уравнения Навье — Стокса, являющиеся одной из важнейших задач гидродинамики, описывают движение вязкой жидкости ^[12][14].

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений^[12].