Риманова геометрия

В 1854 году немецкий математик Бернхард Риман прочитал в присутствии Гаусса лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (нем. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen), с которой ведёт своё начало риманова геометрия. В своём докладе Б. Риман ввёл, во-первых, общее понятие n-мерного многообразия как непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, которые являются точками этого пространства. Во-вторых, он перенёс на эти абстрактные пространства представление об измерении длин бесконечно малыми шагами, то есть дал общее представление о метрике в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы, определяемой формулой ${\displaystyle ds=f(x^{1},...,x^{n};dx^{1},...,dx^{n})}$ и называемой сейчас римановой метрикой. Существование метрики Риман объяснял либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал: «Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии». Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом был впервые введён тензор кривизны и другие фундаментальные понятия римановой геометрии.

В основе римановой геометрии лежат три идеи. Первая идея — осознание факта существования неевклидовой геометрии — геометрии Лобачевского. Вторая идея — понятие внутренней геометрии поверхностей, созданной К. Гауссом. Третья идея — понятие n-мерного пространства, разработанное в 1-й половине XIX века.

Б. Риман соединил и обобщил эти идеи в лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 и опубликованной в 1867 году^[2].

Римановым пространством называется ${\displaystyle n}$-мерное связное дифференцируемое многообразие ${\displaystyle M_{n}}$, на котором задано дифференцируемое поле ковариантного, симметричного и положительно определённого тензора ${\displaystyle g}$ второго ранга, называемого метрическим тензором. Простейший пример риманова пространства даёт любая гладкая поверхность. В достаточно малой окрестности любой точки она совпадает (с точностью до величин высшего порядка малости) с касательной плоскостью в этой точке, поэтому в такой окрестности соотношения длин на поверхности будут такими же, как на плоскости (с точностью до малых высших порядков). Таким образом, в малых областях римановых пространств приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка по сравнению с размером области).

Риманово пространство называется полным (геодезически полным), если любую дугу геодезической можно неограниченно продолжить в обе стороны. В полном римановом пространстве любые две точки можно соединить кратчайшей (не обязательно единственной). На любом дифференцируемом многообразии можно ввести структуру полного риманова пространства^[3].

Римановой метрикой в области пространства с произвольными координатами ${\displaystyle (z^{1},...,z^{n})}$ называется набор функций ${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}(z^{1},...,z^{n})}$, где ${\displaystyle i,j=1,...,n}$, причём матрица ${\displaystyle g_{ij}}$ положительно определена^[4].

Метрика риманова пространства с точностью до первого порядка малости по сравнению с размерами рассматриваемой области совпадает с евклидовой метрикой. Отличие этих метрик оценивается (локально) римановой кривизной — многомерным обобщением понятия гауссовой кривизны поверхности в ${\displaystyle E^{3}}$.

Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.

В случае поверхности кривизна в точке полностью описывается гауссовой кривизной.

По определению риманова пространства метрика риманова пространства в окрестности каждой точки совпадает (с точностью до бесконечно малых порядка выше первого) с евклидовой метрикой. Это позволяет сопоставить каждой точке ${\displaystyle A}$ данного риманова пространства ${\displaystyle R}$ так называемое касательное евклидово пространство ${\displaystyle E_{A}}$​, в которое отображается окрестность ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle A}$ так, что относительное искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке ${\displaystyle A}$. Аналитически это сводится к следующему: вблизи некоторой точки ${\displaystyle A_{0}}$ пространства ${\displaystyle E_{A}}$​ вводятся координаты так, что в них квадрат линейного элемента ${\displaystyle ds_{0}^{2}}$​ евклидова пространства ${\displaystyle E_{A}}$​ выражается такой же формой ${\displaystyle \sum _{i,j}g_{ij}(A)dx^{i}dx^{j}}$, какой выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ${\displaystyle R}$ в точке ${\displaystyle A}$. Значение понятия касательного евклидова пространства состоит в том, что, поскольку можно пренебречь малыми порядка выше 1-го, окрестность точки в римановом пространстве можно заменять областью касательного пространства.

Длина дуги ${\displaystyle S}$ кривой ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$, ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}}$ в римановом пространстве ${\displaystyle R}$ определяется как интеграл

${\displaystyle S=\int ds=\int {\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}dt}}}$ вдоль этой кривой. Если любые две точки пространства ${\displaystyle R}$ соединимы кривой, то ${\displaystyle R}$ становится метрическим пространством, расстояние ${\displaystyle \rho (X,Y)}$ между двумя точками определяется как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и называется внутренней метрикой риманова пространства ${\displaystyle R}$.

Угол между двумя исходящими из одной точки ${\displaystyle A}$ кривыми определяется как угол между касательными векторами к кривым в точке ${\displaystyle A}$. Объём ${\displaystyle n}$-мерной области ${\displaystyle G}$ риманова пространства определяется по формуле ${\displaystyle V=\int ...\int \limits _{G}{\sqrt {g}}dx^{i}...dx^{n}}$, где ${\displaystyle g={\begin{vmatrix}g_{11}&...g_{1n}\\...&......\\g_{n1}&...g_{nn}\end{vmatrix}}}$.

Линии, которые на достаточно малых участках являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, называются геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве ${\displaystyle R}$^[5].

Расстояние ${\displaystyle \rho (p,q)}$ между точками ${\displaystyle p,q\in M^{n}}$ определяется как точная нижняя грань длин всех кусочно гладких кривых, соединяющих ${\displaystyle p}$ с ${\displaystyle q}$. Два римановых пространства ${\displaystyle M_{1}^{n}}$ и ${\displaystyle M_{2}^{n}}$ называются изометричными, если существует отображение ${\displaystyle \varphi :M_{1}^{n}\rightarrow M_{2}^{n}}$, при котором ${\displaystyle \rho _{M^{n}}(p,q)=\rho _{M_{2}^{n}}(\varphi (p),\varphi (q))}$. Изометрическое отображение ${\displaystyle M^{n}}$ на себя называется движением. Кривая с концами в точках ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ называется кратчайшей, если её длина равна ${\displaystyle \rho (p,q)}$. Стационарная кривая функционала длины ${\displaystyle l}$ называется геодезической линией. Каждая кратчайшая в ${\displaystyle M^{n}}$ есть геодезическая и каждая достаточно малая дуга геодезической есть кратчайшая.

Раздел римановой геометрии, изучающий связи между локальными и глобальными характеристиками римановых многообразий. Термин риманова геометрия в целом обычно относят к определённому кругу проблем и методов, характерных для геометрии в целом. Основное место в римановой геометрии в целом занимает изучение связи между кривизной и топологией римановых многообразий. Риманова геометрия в целом тесно соприкасается с теорией однородных пространств и вариационной теорией геодезических линий. Методы римановой геометрии в целом носят синтетический характер. Наряду с локальной дифференциальной геометрией широко используются теория дифференциальных уравнений и теория Морса. Но основные достижения связаны с нахождением удачных конструкций, например построением замкнутых геодезических, минимальных плёнок или плёнок из геодезических, орисфер, выпуклых множеств. Исследованию топологии риманова многообразия обычно предшествует изучение её метрических свойств. Последнее часто осуществляется путём сравнения риманова многообразия с подходящим эталонным пространством^[6].

• Теорема Гаусса — Бонне

Для замкнутых поверхностей связь между кривизной и топологией по существу исчерпывается формулой Гаусса — Бонне. Эта теорема допускает также обобщение на компактное риманово многообразие чётной размерности.

• Теорема Адамара — Картана

Полное односвязное риманово многообразие ${\displaystyle M^{n}}$с кривизной ${\displaystyle K_{\sigma }\leqslant 0}$ диффеоморфно евклидову пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём для любой точки ${\displaystyle x\in M^{n}}$ экспоненциальное отображение ${\displaystyle \exp _{x}}$ есть диффеоморфизм касательного пространства ${\displaystyle T_{x}M^{n}}$ на ${\displaystyle M^{n}}$.

• Теорема о сфере

Теорема о сфере имеет место для замкнутых римановых многообразий с ${\displaystyle K_{\sigma }>0}$.

Многие глобальные свойства римановых многообразий доказываются путём сравнения конструкций в изучаемом римановом многообразии с аналогичными конструкциями в эталонном пространстве. В качестве последнего берут многообразие постоянной кривизны, реже другое симметрическое пространство.

• Теорема Топоногова сравнения углов

Пусть ${\displaystyle M}$ — полное риманово многообразие и с секционной кривизной не меньше некоторой константы ${\displaystyle \kappa }$. Тогда углы любого треугольника ${\displaystyle \triangle }$ в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника ${\displaystyle {\tilde {\triangle }}_{\kappa }}$. Иначе говоря, ${\displaystyle {\tilde {\measuredangle }}_{\kappa }xyz\leq \measuredangle xyz}$ для любого треугольника ${\displaystyle \triangle xyz}$.

• Теорема сравнения Рауха

Пусть ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ суть римановы многообразия.

Пусть ${\displaystyle \gamma \colon [0,T]\to M}$ и ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\colon [0,T]\to {\tilde {M}}}$ суть геодезические с единичной скоростью, такие, что ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$ не имеет сопряженных точек вдоль ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$, и пусть ${\displaystyle J,{\tilde {J}}}$ — нормальные поля Якоби вдоль ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$, такие, что ${\displaystyle J(0)={\tilde {J}}(0)=0}$ и ${\displaystyle |J'(0)|=|{\tilde {J}}'(0)|}$. Предположим, что секционные кривизны ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ всюду удовлетворяют ${\displaystyle K(\Pi )\leqslant {\widetilde {K}}({\widetilde {\Pi }})}$, где ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$ — это 2-плоскость, содержащая ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$, а ${\displaystyle {\tilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\tilde {M}}}$ — 2-плоскость, содержащая ${\displaystyle {\dot {\tilde {\gamma }}}(t)}$.

Тогда ${\displaystyle |J(t)|\geqslant |{\tilde {J}}(t)|}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,T]}$.

Теоремы сравнения приводят к оценкам таких характеристик ${\displaystyle M^{n}}$, как диаметр, радиус инъективности, длина замкнутой геодезической, объём шара данного радиуса и т. п. Ответы на вопросы о случаях достижения равенства в таких оценках дают экстремальные теоремы. Экстремальные теоремы не всегда связаны с оценками кривизны. Пусть, например, на замкнутой поверхности ${\displaystyle F}$ для любой точки множество точек, ей сопряжённых, состоит из единственной точки. Тогда ${\displaystyle F}$ изометрична cфepe.

Имеется ряд обобщений понятия риманова геометрия^[6]:

• Псевдориманова геометрия;
• Финслерова геометрия;
• Пространства ограниченной кривизны;
• Пространства кривизны не больше К.

Риманова геометрия возникла и развивалась в работах Римана в связи с физикой. После опубликования работ Б. Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые теоремы геометрического содержания. Важным шагом было создание итальянскими математиками Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита на рубеже XX в. так называемого тензорного исчисления, которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом для разработки римановой геометрии. Понятия римановой геометрии сыграли важную роль в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, которое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи геометрии и физики, выдвинутых Н. И. Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному развитию римановой геометрии и её разнообразных обобщений. В XXI веке риманова геометрия успешно развивается, особенно в той её части, которая называется римановой геометрией в целом, и ей находят обширные и глубокие области применения^[2]. Развитие римановой геометрии в связи с общей теорией относительности и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, важнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства-времени) — четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой ${\displaystyle d\sigma ^{2}=\sum _{i,j}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$. Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду ${\displaystyle d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}}$, где ${\displaystyle x,y,z}$ — пространственные координаты, ${\displaystyle t}$ — время. Один из других путей обобщения римановой геометрии связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента ${\displaystyle ds}$^[5].