Воеводский, Владимир Александрович

Родился в семье учёных — выпускников МГУ, отец — астрофизик, лауреат Государственной премии за работы по созданию Баксанской нейтринной обсерватории (1998)^[5], мать — химик, специалист по ядерному магнитному резонансу. Раннее детство провёл в коммунальной квартире на площади Ногина, впоследствии семья переселилась в отдельную квартиру в Малом Ивановском переулке^[6].

В старших классах сменил несколько школ, аттестат о среднем образовании получил в 1983 году, в формировании строгого и точного математического мышления отмечал влияние учебника по геометрии под редакцией Колмогорова^[7][6]. В том же году поступил на механико-математический факультет МГУ. Получив из-за сильной аллергии «белый билет» — освобождение от срочной воинской службы, отсрочку от которой не предоставляли прервавшим обучение в вузе, взял академический отпуск, после возвращения из которого был отчислен, но впоследствии восстановился^[8].

Во время учёбы в университете увлёкся алгебраической геометрией, в числе причин указывал на работу в этой области таких интересных людей, как Игорь Шафаревич^[6]. Во время академического отпуска подрабатывал преподавателем программирования на учебно-производственном комбинате, там встретился с Георгием Шабатом. Шабат познакомил Воеводского с Программой Гротендика, к которой впоследствии неоднократно обращался в своём творчестве, к осмыслению и развитию идей программы относятся и первые научные исследования Воеводского, проведённые совместно с Шабатом и вылившиеся в ряд публикаций^[9][10], одна из которых получила одобрение Гротендика. В 1989 году, по результатам I семестра четвёртого курса, несмотря на наличие опубликованных работ в ведущих журналах, окончательно отчислен из университета за академическую неуспеваемость^[8].

В 1989—1990 годы опубликовал несколько работ вместе с Михаилом Капрановым, вскоре иммигрировавшим в США. В 1990 году Капранов заполнил за Воеводского заявку на поступление в аспирантуру Гарвардского университета, и, несмотря на формальное отсутствие высшего образования, тот был принят^[11]. Квалификационный экзамен, на сдачу которого отводятся первые три года обучения в аспирантуре, сдал уже через месяц после поступления, благодаря чему был освобождён от занятий и смог сконцентрироваться на исследовательской работе^[8]. Находясь в аспирантуре постоянно нарушал регламенты: уезжал в Россию на 4 месяца, жил прямо в офисе, отказываясь снять жильё, при этом руководство факультета во всех случаях содействовало сохранению перспективного учёного в Гарварде. Докторскую диссертацию на тему «Гомологии схем и ковариантных мотивов» защитил в 1992 году под руководством Давида Каждана.

По окончании аспирантуры прошёл годичную постдокторантуру в принстонском Институте перспективных исследований, после чего вернулся в Гарвард и три года состоял в Обществе стипендиатов (англ. Society of fellows), в которое ежегодно набирают 8 выпускников аспирантур и предоставляют возможность сфокусироваться на исследованиях, не отвлекаясь на преподавание^[8].

В 1995 году женился на математике Надежде Шалаби (род. 1966), в браке, который завершился разводом в 2008 году, родились двое дочерей (Тали и Дина).

С 1996 по 1999 год работал в должности ассоциированного профессора в Северо-Западном университете, где сотрудничал с крупнейшими специалистами по алгебраической ${\displaystyle K}$-теории Андреем Суслиным и Эриком Фридландером, также в течение этого периода был приглашённым профессором в Институте Макса Планка и в Гарварде. В 1998 году прочёл пленарный доклад «Теория ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$-гомотопий» на Международном конгрессе математиков в Берлине^[12].

В 1998 году приглашён на постоянную позицию в Институт перспективных исследований; в январе 2002 года, за несколько месяцев до награждения медалью Филдса, получил должность пожизненного профессора института. Во время работы в Принстоне обращался к математической биологии в части исторической генетики и к теории вероятностей, работая над переформулировкой её на языке теории категорий^[13], считая важным внести вклад в приложения, а в период 2005—2006 годов полностью выключился из академической деятельности. В 2006 году опубликовал первые заметки по возможностям применения геометрических понятий к теории типов^[14][15], и, после окончательного доказательства гипотезы Блоха — Като в 2010 году, полностью погрузился в новое направление, выдвинув программу унивалентных оснований. К программе постепенно подключился значительный коллектив специалистов по математической логике, теории категорий, системам автоматического доказательства. Академический год 2012/13 в Институте перспективных исследований по инициативе Воеводского был объявлен «годом унивалентных оснований», в рамках которого в сотрудничестве Воеводского, Ауди и Кокана была открыта специальная исследовательская программа, собравшая около 30 учёных, совместно написавших за этот период 600-страничную книгу^[16].

Умер у себя дома в Принстоне, обнаружен по обращению бывшей жены, которая некоторое время не могла с ним связаться и знала о тяжёлом заболевании; по её сообщениям, причиной смерти могла быть аневризма^[17]. Похоронен 27 декабря 2017 года на Химкинском кладбище в Москве^[18].

В работах 1989—1990 годов по высшим группоидам, написанных в соавторстве с Капрановым, развил идею Гротендика о возможности описания CW-комплексов с гомотопической точки зрения как группоидов. В 1998 году Карлосом Симпсоном построен контрпример к одной из основных конструкций этих работ^[19], который Воеводский с Капрановым изначально не признали, и статья Симпсона не была принята в журналы; лишь в 2013 году Воеводский подтвердил доводы Симпсона.

В трудах периода гарвардской аспирантуры разработал конструкцию, в которой всякой схеме ${\displaystyle S}$ соответствуют триангулируемая категория ${\displaystyle DM(S)}$ и ковариантный функтор из категории схем над ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle DM(S)}$. Полученная конструкция обладает всеми свойствами теории гомологий, таким образом, выявлена новая возможность работать со схемами (и, в частности, с алгебраическими многообразиями) средствами алгебраической топологии.

Используя созданный в диссертации инструментарий подключился к решению ключевых проблем алгебраической ${\displaystyle K}$-теории и проработке деталей теории мотивных когомологий. В 1996—1998 годы совместно с Фабианом Морелем создал теорию ${\displaystyle A^{1}}$-гомотопий, основная идея которой заменить в определении гомотопии единичный интервал ${\displaystyle [0,1]}$ (не являющийся алгебраическим многообразием) аффинной прямой ${\displaystyle A^{1}}$ для возможности полной алгебраизации теории гомотопий. Этим работам посвящён пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в 1998 году.

Теории мотивных когомологий в 2000 году Математической предметной классификации присвоен отдельный код 14F42 в составе подраздела «Теории гомологий и когомологий» в разделе «Алгебраическая геометрия». В 2010 году к этому же коду присоединена также теория ${\displaystyle A^{1}}$-гомотопий под наименованием «теория мотивных гомотопий».

В 1996 году выпустил препринт с первым доказательством гипотезы Милнора, составлявшей основную проблему милноровой ${\displaystyle K}$-теории, согласно которой существует изоморфизм между кольцами Милнора ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2}$ и ${\displaystyle H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ — группами этальных когомологий с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ для всякого поля ${\displaystyle F}$ характеристики, отличной от 2, и любого целого ${\displaystyle n}$. В доказательстве, кроме собственных разработок и теории ${\displaystyle A^{1}}$-гомотопий, существенно использованы результаты Меркурьева, Суслина, Фридландера и Роста. Несмотря на всеобщее признание результата в конце 1990-х годов и получение Филдсовской премии за доказательство гипотезы, окончательный вариант, устраняющий все недочёты в доказательствах, был опубликован в 2003 году.

С конца 1990-х годов принялся за решение проблемы Блоха — Като, для которой гипотеза Милнора является частным случаем при ${\displaystyle \ell =2}$. Несмотря на то, что подход к доказательству Воеводский, по собственному утверждению, выработал уже в конце 1996 года, проработка результата потребовала значительной подготовительной работы, как по линии алгебраической ${\displaystyle K}$-теории, так и мотивной теории когомологий. Лишь к концу 2000-х годов Суслину, Жуховицкому и Вейбелю удалось доказать необходимое обобщение результата Роста^[20], а работу по развитию мотивной теории когомологий и соединение всех деталей доказательства Воеводский завершил в феврале 2010 года.

Ещё с середины 1990-х годов считал одной из угроз математики возможность накопления незамеченных ошибок из-за чрезвычайного усложнения современных направлений, и с 2002 года искал возможность применить системы автоматического доказательства к абстрактным разделам математики, но не находил удовлетворительных решений^[21]. В конце 2005 года обнаружил возможность описания высших группоидов, средствами λ-исчисления с зависимыми типами, лежавшего в основе ряда систем автоматического доказательства, эксплуатирующих изоморфизм Карри — Ховарда об эквивалентности между компьютерными программами и математическими доказательствами^[22]. Идеи применения интуиционистской теории типов к теории категорий и топологии публиковались с середины 1990-х годов, но не к высшим группоидам, которые, согласно Воеводскому, ссылающемуся в свою очередь на соответствие Гротендика, являются фундаментальными математическими объектами, и соответствуют гомотопическим типам.

К 2006 году относятся первые эксперименты Воеводского с системой Coq. В 2009 году решил основные технические проблемы на пути применения интуиционистской теории типов к высшим группоидам, прежде всего, разработав конструкцию для иерархии универсумов и постулировав аксиому унивалентности, утверждающую равенство между объектами, между которыми может быть установлена эквивалентность:

${\displaystyle (A=B)\simeq (A\simeq B)}$.

Хотя в математике традиционно множество результатов устанавливается для классов эквивалентных объектов, «с точностью до…» — изоморфизма, гомеоморфизма, гомотопии, — считается, что введение аксиомы унивалентности на уровне оснований стало революционным новшеством^[23], кроме всего, обеспечивающим множество технических эффектов благодаря возможности избавиться в формализациях от громоздких конструкций с классами эквивалентностей. Ещё одной фундаментальной особенностью подхода Воеводского к основаниям считается объединение в рамках одной теории логических и математических понятий, где одни и те же конструкции могут быть наделены той или иной интерпретацией, в отличие от классического подхода, идущего от Гильберта и Тарского, где логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами строятся собственно математические теории^[24].

С 2010 года приступил к разработке «Библиотеки унивалентных оснований»^[25] — коллекции формальных описаний на Coq, позволяющих формулировать доказательства для абстрактных разделов математики, в течение трёх месяцев удалось построить систему с достаточно широким охватом^[21]. В 2010 году в рамках запроса на грант подготовил программу разработки унивалентных оснований^[26], в которой выделил следующие её возможности:

• естественная аксиоматизация категорных и высшекатегорных языков,
• применение языков зависимых типов,
• прямая аксиоматизация понятий на основе гомотопических типов, без использования инструментария теории множеств,
• применимость как для конструктивной так и неконструктивной математики.

В 2013 году, в рамках инициированного им совместно с Ауди и Коканом в Институте перспективных исследований года унивалентных оснований, стал соавтором книги «Гомотопическая теория типов», впоследствии высказывал неудовлетворённость результатами, отмечая, что участники программы предлагали много странных идей^[22]. В целом, несмотря на большое количество специалистов, подключившихся к программе создания унивалентных оснований, работал изолированно: развивал собственный проект библиотеки оснований^[25], использующий специально разработанное безопасное подмножество Coq, тогда как участники исследовательской программы Института перспективных исследований вели работы стандартными средствами^[27]. Кроме того, посвятил цикл из восьми работ 2014—2017 годов модельным вопросам и проблемам обоснования, разрабатывая теорию C-систем (контекстуальных категорий), притом что основная волна исследований направлена на расширение возможностей оснований и приложения^[21].

После смерти Воеводского в 2017 году его научные идеи продолжали активно развиваться по двум основным направлениям: мотивная теория гомотопий, за которую он получил Филдсовскую премию, и унивалентные основания математики (HoTT), ставшие фокусом его работы в последнее десятилетие жизни^[28].

Программа унивалентных оснований, направленная на создание формального языка для компьютерной проверки доказательств, сформировала вокруг себя крупное международное сообщество математиков, логиков и специалистов по информатике^[29]. В рамках этого направления регулярно проводятся тематические мероприятия, такие как ежегодные воркшопы HoTT/UF^[30][31] и крупные международные конференции. Ключевым событием стала Вторая международная конференция по гомотопической теории типов (HoTT 2023) в Университете Карнеги-Меллона, где была учреждена и впервые прочитана Мемориальная лекция Владимира Воеводского^[32]. Наследие Воеводского продолжает жить в виде конкретных программных проектов. Инициированная им библиотека формализованной математики UniMath активно развивается; для привлечения новых участников проводятся тематические школы, например, в 2024 году в Миннеаполисе^[33]. Сообщество также развивает альтернативные реализации, такие как Cubical Agda, предоставляющую конструктивную реализацию аксиомы унивалентности^[34]. Исследования расширяются в новые области, включая применение HoTT для верификации квантовых программ (проект Linear HoTT)^[29].

Мотивная теория гомотопий (или A¹-гомотопическая теория) также остаётся активной областью исследований. В июне 2022 года в Институте Исаака Ньютона прошёл воркшоп «Алгебраическая K-теория, мотивные когомологии и мотивная теория гомотопий»^[35]. Появляются научные работы, обобщающие и развивающие теорию Мореля — Воеводского, например, статья «Логарифмическая мотивная гомотопическая теория» (2023)^[36]. Идеи Воеводского в этой области продолжают находить применение в решении задач теории чисел, в частности, связанных с L-функциями^[37].

8 октября 2017 года в Институте перспективных исследований проведено собрание памяти учёного, на котором выступили близкие и коллеги учёного, в том числе Пьер Делинь, Ричард Тейлор, Давид Каждан^[38]. 28 декабря 2017 года, на следующий день после отпевания и похорон в Москве, в Математическом институте Академии наук имени Стеклова прошла однодневная конференция памяти Воеводского^[39].

В 2018 году вышли посвящённые памяти Воеводского номер газеты «Троицкий вариант — наука» (март) и мемориальный выпуск журнала «Успехи математических наук» (май-июнь). В апреле 2019 года в «Notices of the AMS» была опубликована статья Чарльза Вайбеля о жизни и научном вкладе учёного. В 2023 году на Второй международной конференции по гомотопической теории типов (HoTT 2023) в Университете Карнеги-Меллона была учреждена Мемориальная лекция Владимира Воеводского; первую лекцию прочитал Майкл Шульман.

По мнению сокурсника по Гарварду Михаила Вербицкого, Воеводский выведен в нескольких текстах писателя Баяна Ширянова и стал прототипом главного героя романа Николая Баранского «Путешествие в поисках истинной живости».

Книги

• Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander. Cycles, transfers, and motivic homology theories. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 2000. — 254 с. — (Annals of Mathematics Studies, vol. 143). — ISBN 0-691-04815-0.
  • Обзорная рецензия — Charles A. Weibel. Cycles, transfers, and motivic homology theories, by Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander // Bulletin Of The American Mathematical Society. — 2001. — Т. 39, № 1. — С. 137—143. Архивировано 18 октября 2020 года.
• Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky, Charles Weibel. Lecture Notes on Motivic Cohomology. — Princeton, NJ: American Mathematical Society, 2006. — 218 с. — (Clay mathematics monographs, vol. 2). — ISBN 0-8218-3847-4.

Статьи

• В. А. Воеводский, М. М. Капранов. ∞-группоиды как модель для гомотопической категории // Успехи математических наук. — 1990. — Т. 45, № 5. — С. 239—240. — doi:10.1070/RM1990v045n05ABEH002673. Совместная с Капрановым работа по соответствию между CW-комплексами и высшими группоидами, к которому впоследствии Симпсон нашёл контрпример.
• Vladimir Voevodsky. Motivic cohomology with ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-coefficients // Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques. — 2003. — Т. 98, № 1. — С. 59–104. — doi:10.1007/s10240-003-0010-6. Заключительная работа с полным доказательством гипотезы Милнора.
• Vladimir Voevodsky. On motivic cohomology with ${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell }$-coefficients // Annals of Mathematics. — 2011. — Т. 174. — С. 401–438. — doi:10.4007/annals.2011.174.1.11. Статья с доказательством гипотезы Блоха — Като
• Vladimir Voevodsky. An experimental library of formalized Mathematics based on the univalent foundations // Mathematical Structures in Computer Science. — Cambridge University Press, 2015. — Т. 25. — С. 1278–1294. — doi:10.1017/S0960129514000577. Публикация о библиотеке формализованной математики на базе унивалентных оснований
• Vladimir Voevodsky. The Origins and Motivations of Univalent Foundations. A Personal Mission to Develop Computer Proof Verification to Avoid Mathematical Mistakes (англ.). IDEAS, The Institute Letter, Summer 2014. Institute of Advanced Study (1 июля 2014). — «I think it was at this moment that I largely stopped doing what is called “curiosity-driven research” and started to think seriously about the future». Дата обращения: 29 декабря 2017. Архивировано 22 января 2018 года. Работа, в которой Воеводский перечисляет выявленные впоследствии труднообнаружимые ошибки в доказательствах, как в собственных трудах, так и в результатах коллег, которые послужили для него мотивацией в работе над унивалентными основаниями