Квиллен, Даниель

Квиллен родился в Орандже, штат Нью-Джерси. Он поступил в Гарвардский университет, где получил степень бакалавра (1961) и защитил кандидатскую диссертацию (1964) под руководством Рауля Ботта в области дифференциальных уравнений в частных производных. В 1964 году он начал работать в Массачусетском технологическом институте (MIT)^[6].

После получения докторской степени Квиллен получил место в Массачусетском технологическом институте. Однако он также провёл несколько лет в ряде других университетов. Этот опыт оказался важным для определения направления его исследований. Он посетил Францию дважды: сначала, благодаря фонду Альфреда Слоуна, во время учебного года 1968/69, где на него оказал сильное влияние Гротендик, а затем — в течение 1973—74 благодаря фонду Гуггенхайма. В 1969—70 годах он был приглашённым членом Института перспективных исследований в Принстоне, где попал под влияние Майкла Атьи.

В 1978 году Квиллен получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков, который состоялся в Хельсинки.

В 1984 году он перешёл в Оксфордский университет на должность Уэйнфлитского профессора чистой математики, где работал до выхода на пенсию в 2006 году^[5].

30 апреля 2011 года Квиллен умер в Гейнсвилле (штат Флорида)^[7] из-за осложнений болезни Альцгеймера^[5][8].

Наиболее известный вклад Квиллена (также упоминаемый в его награждении медалью Филдса) состоит в формулировке высшей алгебраической К-теории в 1972 году. Этот новый инструмент, который формулируется в терминах теории гомотопий, оказался успешным в формулировании и решении основных проблем в области алгебры, в частности — в теории колец и теории модулей. В более общем плане Квиллен разработал инструменты (в частности, теорию модельных категорий), которые дали возможность применить алгебро-топологические инструменты и в других контекстах. Основополагающей работой, в которой Квиллен изложил основы высшей алгебраической K-теории, стала статья «Higher algebraic K-theory. I» (1973)^[9]. Аксиоматическая основа теории модельных категорий была заложена им в монографии «Homotopical Algebra» (1967), где было дано формальное определение замкнутой модельной категории^[10].

До своей новаторской работы по определению высшей алгебраической К-теории Квиллен работал над гипотезой Адамса, которая была сформулирована Фрэнком Адамсом в теории гомотопий. Его доказательство гипотезы использовало методы из теории модулярных представлений групп, которую он впоследствии использовал для работы над когомологиями групп и в алгебраической К-теории. Он также работал над комплексным кобордизмом, показав, что его формальный групповой закон, по сути, является универсальным.

Значительным вкладом в теорию групп стало введение комплекса Квиллена (комплекса p-подгрупп), который позволил изучать алгебраическую структуру конечной группы через топологические свойства связанного с ней симплициального комплекса. В 1978 году была сформулирована гипотеза Квиллена, утверждающая, что этот комплекс стягиваем тогда и только тогда, когда группа имеет нетривиальную нормальную p-подгруппу^[11].

В связанной работе он также дал доказательство гипотезы Серра о тривиальности векторных расслоений в аффинном пространстве (или, эквивалентно, о том, что любой конечнопорождённый проективный модуль над кольцом многочленов является свободным). Он также является автором (вместе с Деннисом Салливаном) рациональной теории гомотопий. В её рамках он разработал алгебраический подход, получивший название «модель Квиллена», который устанавливает эквивалентность между категорией рациональных гомотопических типов и гомотопической категорией дифференциальных градуированных алгебр Ли^[12].

• Стипендия Пэтнэма (1959)^[7]
• Стипендия Слоуна (1968)
• Стипендия Гуггенхайма (1973)
• Премия Коула по алгебре (1975)
• Филдсовская премия (1978)^[13]

В 1978 году был избран членом Национальной академии наук США.

Родителями Даниеля были Чарльз Сильвестр Квиллен и Эмма Льюис Грей. Во время учёбы в Гарвардском университете он познакомился со своей будущей женой, скрипачкой Джин Плессет, вместе с которой выступал в университетском оркестре^[5]. В браке у них родилось шестеро детей^[5]. Помимо математики, Квиллен увлекался музыкой, особенно творчеством Иоганна Себастьяна Баха^[5].