Числа Бернулли

Формулы сумм степеней до 10-й степени накопились задолго до Бернулли (таблицы Ибн аль-Хайсама, И. Фаульхабера, Дж. Валлиса); однако общий закон впервые опубликован Сэки Такакадзу в сочинении «Кацуё сампо» (1712), а в Европе — Якобом Бернулли в «Ars Conjectandi» (1713, посмертно), где приведены числа ${\displaystyle B_{2}}$—${\displaystyle B_{10}}$ и выражено изумление перед «скрытой симметрией» таблицы сумм^[1]. Сам Бернулли вычислил и знаменитую сумму десятых степеней: ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{1000}n^{10}}$.

Эйлер в 1735 году решением базельской задачи открыл связь ${\displaystyle B_{2}}$ с ${\displaystyle \pi }$, а к 1740 году — общий закон для всех чётных значений дзета-функции^[8]; ему же принадлежит формула суммирования Эйлера — Маклорена. Арифметическую природу знаменателей выяснили Клаузен (1840) и фон Штаудт (1845)^[9]; сравнения, носящие имя Куммера, опубликованы в 1851 году в связи с его работами над великой теоремой Ферма^[10]: Куммер показал, что для «регулярных» простых ${\displaystyle p}$ (не делящих числители ${\displaystyle B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}}$) теорема Ферма верна. В 1878 году Дж. К. Адамс вычислил ${\displaystyle B_{62}}$ — первое число, знаменатель и числитель которого делают ручные вычисления практически безнадёжными.

В XX веке Ф. Хирцебрух выразил через числе Бернулли L-род (сигнатурную формулу), Кервер и Милнор связали числители ${\displaystyle B_{4k}}$ с числом экзотических сфер, а Кубота и Леопольдт построили p-адические дзета-функции. Современная вычислительная рекордология опирается на алгоритм Харви (2010), использующий модульную арифметику и быстрое преобразование Фурье. Его вычислительная сложность составляет ${\displaystyle O(n^{2}\log ^{2+\epsilon }n)}$ битовых операций, что позволило вычислить ${\displaystyle B_{n}}$ для ${\displaystyle n}$ порядка ${\displaystyle 10^{8}}$ и выше, установив современные рекорды^[11].

В большинстве современных учебников и справочников принимается определение, при котором ${\displaystyle B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}}$ (именно оно используется в настоящей статье)^[12][13]. Часть авторов использует соглашение, отличающееся знаком ${\displaystyle B_{1}=+{\tfrac {1}{2}}}$^[14][15]. Кроме того, поскольку все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме ${\displaystyle B_{1}}$, равны нулю, некоторые авторы (особенно в работах по теории чисел) обозначают «${\displaystyle B_{n}}$» через ${\displaystyle B_{2n}}$ или ${\displaystyle |B_{2n}|}$, чтобы избежать упоминания нулевых значений^[16].

Экспоненциальная производящая функция чисел Бернулли:

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}\,x^{n},\qquad |x|<2\pi ,}$

— это определение удобно брать за основное: равенство коэффициентов при ${\displaystyle x^{n}}$ после умножения на ${\displaystyle e^{x}-1}$ даёт рекуррентную формулу^[17]:

${\displaystyle B_{0}=1,}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .}$

К этой же функции сводятся разложения других элементарных функций^[17]:

${\displaystyle x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},\qquad |x|<\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},\qquad |x|<{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-2^{n}){\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}.}$

Формула Фаульхабера — Бернулли выражает сумму степеней первых натуральных чисел через многочлены Бернулли:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {B_{k+1}(N)-B_{k+1}(0)}{k+1}}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s}.}$

Первые случаи: ${\displaystyle \textstyle \sum _{n<N}n={\frac {N(N-1)}{2}}}$, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n<N}n^{2}={\frac {N(N-1)(2N-1)}{6}}}$, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n<N}n^{3}={\frac {N^{2}(N-1)^{2}}{4}}}$ — «сумма кубов равна квадрату суммы» (при суммировании от 1 до N: ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{N}n^{3}={\frac {N^{2}(N+1)^{2}}{4}}}$). Именно эти многочлены составили содержание «Бернуллиевых чисел» в исходной работе Якоба Бернулли^[1]; формулы для малых степеней ранее накопили Фаульхабер (1631) и другие, но общий закон дал именно Бернулли^[18].

• Пусть ${\displaystyle B_{n}(x)}$ — многочлены Бернулли; тогда ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$. Из симметрии ${\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)}$ следует, что все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме ${\displaystyle B_{1}}$, равны нулю, а знаки чисел с чётными номерами чередуются.
• Теорема фон Штаудта — Клаузена: ${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,|\,2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} }$, где сумма берётся по всем простым ${\displaystyle p}$, для которых ${\displaystyle p-1}$ делит ${\displaystyle 2n}$. В частности, знаменатель дроби ${\displaystyle B_{2n}}$ свободен от квадратов и равен произведению всех таких ${\displaystyle p}$^[9]; так, знаменатель ${\displaystyle B_{12}=-{\tfrac {691}{2730}}}$ равен ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13=2730}$ (ибо ${\displaystyle p-1}$ делит 12 при ${\displaystyle p=2,3,5,7,13}$)^[19].

• Сравнения Куммера: если ${\displaystyle p}$ — простое и ${\displaystyle p-1}$ не делит ${\displaystyle 2n}$, то ${\displaystyle {\frac {B_{2n}}{2n}}\equiv {\frac {B_{2n+p-1}}{2n+p-1}}{\pmod {p}}}$^[10][20].
• Простое ${\displaystyle p}$ делит числитель ${\displaystyle B_{2n}}$ при некотором ${\displaystyle 2n\leq p-3}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle p}$ делит число классов кругового поля (теорема Хербранда — Рибета); такие ${\displaystyle p}$ называются нерегулярными. Наименьшее нерегулярное простое — 37 (оно делит числитель ${\displaystyle B_{32}}$)^[21].
• Матричное представление: числа Бернулли являются элементами первого столбца матрицы, обратной к нижнетреугольной матрице ${\displaystyle M}$ с элементами ${\displaystyle M_{n,k}={\frac {1}{n+1}}{\binom {n+1}{k}}}$ (при ${\displaystyle n\geq k\geq 0}$). Это напрямую следует из рекуррентного соотношения ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}B_{k}=0}$ при ${\displaystyle n\geq 1}$.
• Асимптотика: ${\displaystyle |B_{2n}|\sim {\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$; точнее, ${\displaystyle {\frac {|B_{2n}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}=\zeta (2n)\to 1}$ (см. следующий пункт). Числа Бернулли растут быстрее любой геометрической прогрессии: уже ${\displaystyle B_{50}>7{,}5\cdot 10^{24}}$.

Эйлер установил связь чисел Бернулли со значениями дзета-функции Римана при чётных аргументах^[8][22]:

${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}},}$

а также

${\displaystyle B_{n}=-n\,\zeta (1-n)}$ для всех натуральных ${\displaystyle n>1}$.

Отсюда, в частности, ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$ (базельская задача) и ${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90}$; общий закон в симметричной форме отвечает функциональному уравнению дзета-функции. Кроме того,

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots }$

Главная аналитическая роль чисел Бернулли — поправочные члены в формуле Эйлера — Маклорена, связывающей суммы и интегралы:

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f(k)=\int \limits _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{j=1}^{p}{\frac {B_{2j}}{(2j)!}}{\Bigl (}f^{(2j-1)}(n)-f^{(2j-1)}(m){\Bigr )}+R_{p}.}$

Она порождает асимптотические разложения для многих специальных функций. Классический пример — гармонические числа:

${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\dots }$

(${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера); другой — формула Стирлинга для гамма-функции, все поправочные коэффициенты которой рационально выражаются через ${\displaystyle B_{2k}}$. Строгое обоснование остаточного члена дано Якоби (1834)^[23][24].

Числа Бернулли — значения в нуле многочленов Бернулли ${\displaystyle B_{n}(x)}$, определяемых производящей функцией ${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$ или явной формулой ${\displaystyle \textstyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}x^{n-k}}$. Многочлены Бернулли удовлетворяют соотношениям ${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)}$, ${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$ (связывающих их с суммами степеней), ${\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)}$; их разложения в ряды Фурье дают все классические ряды (для ${\displaystyle x\operatorname {ctg} x}$, ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$ и др.). Близкие конструкции — многочлены Эйлера, числа Эйлера (числа секущих, связанные с разложением ${\displaystyle {\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$), тангенс-числа (числа Цагнера) и многочлены Генокки^[25].

• Математический анализ. Разложения элементарных функций (${\displaystyle \operatorname {tg} x}$, ${\displaystyle x\operatorname {ctg} x}$, ${\displaystyle \ln \operatorname {tg} \!{\bigl (}{\tfrac {\pi }{4}}+{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}}$ и др.), формула Эйлера — Маклорена и её следствия — асимптотики сумм, формула Стирлинга, вычисление констант.
• Теория чисел. Значения ${\displaystyle \zeta (2k)}$; критерии нерегулярности простых и теорема Хербранда — Рибета; p-адические дзета-функции и теория Ивасавы; гипотеза Аго — Джуги (об охарактеризации простых чисел сравнением ${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$).
• Алгебраическая топология. Сигнатурная формула Хирцебруха и характеристические классы: ${\displaystyle {\hat {A}}}$-род и род Тодда многообразия выражаются через рациональные функции от чисел Бернулли (${\displaystyle B_{4k}}$). Целочисленность ${\displaystyle {\hat {A}}}$-рода для спинорных многообразий сыграла ключевую роль в доказательстве теоремы об индексе Атьи — Зингера. Числители ${\displaystyle B_{4k}}$ также определяют порядок групп гомотопических сфер (экзотические сферы Кервера — Милнора).
• Математическая физика. Формула интеграла ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n-1}dx/(e^{2\pi x}-1)=|B_{2n}|/4n}$ — волновой язык излучения чёрного тела (закон Стефана — Больцмана), эффект Казимира, теплоёмкость твёрдого тела (модель Дебая), магнитные свойства электронного газа.
• Численные методы. Поправки Эйлера — Маклорена в квадратурных формулах и в ускорении сходимости рядов; эффективные алгоритмы вычисления ${\displaystyle B_{n}{\bmod {p}}}$ и больших ${\displaystyle B_{n}}$ применяются в криптографических приложениях и системах компьютерной математики. В частности, для небольших ${\displaystyle n}$ широко используется алгоритм Акиямы — Танигавы: он строится по правилу ${\displaystyle A_{0,m}={\frac {1}{m}}}$ и ${\displaystyle A_{n,m}=m(A_{n-1,m}-A_{n-1,m+1})}$, при этом ${\displaystyle A_{n,1}}$ даёт ${\displaystyle n}$-е число Бернулли (в соглашении с ${\displaystyle B_{1}=+1/2}$).
• Вероятности и статистика. Числа Бернулли входят в асимптотики чисел Стирлинга, в разложения гамма-распределения и в поправки к центральной предельной теореме (разложения Эджуорта).

1. Сумма квадратов: ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{99}n^{2}={\frac {99\cdot 100\cdot 199}{6}}=328{,}350}$ — по формуле с ${\displaystyle B_{0},B_{1},B_{2}}$.
2. Сумма десятых степеней (пример самого Бернулли): ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{1000}n^{10}=91\,409\,924\,241\,424\,243\,424\,241\,924\,242\,500}$.
3. Базельская задача: ${\displaystyle \zeta (2)={\frac {|B_{2}|\,(2\pi )^{2}}{2\cdot 2!}}={\frac {(1/6)\cdot 4\pi ^{2}}{4}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.
4. Ряд тангенса: ${\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\dots }$ — коэффициенты ${\displaystyle |B_{2n}|2^{2n}(2^{2n}-1)/(2n)!}$
5. Знаменатель ${\displaystyle B_{12}}$: по фон Штаудту — Клаузену это ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 13=2730}$ (все ${\displaystyle p}$ с ${\displaystyle p-1\mid 12}$), что отвечает таблице значений.
6. Сравнение Куммера (пример): ${\displaystyle {\frac {B_{2}}{2}}\equiv {\frac {B_{p+1}}{p+1}}{\pmod {p}}}$ для любого простого ${\displaystyle p>3}$.
7. Нерегулярная пара: числитель ${\displaystyle B_{32}=-7709321041217}$ делится на 37, поэтому простое 37 — наименьшее нерегулярное.
8. Гармонические числа: ${\displaystyle H_{100}=5{,}18737751763962\dots }$; три члена разложения с ${\displaystyle B_{2},B_{4}}$ дают ошибку менее ${\displaystyle 4\cdot 10^{-15}}$.
9. Формула Стирлинга: ${\displaystyle \ln \Gamma (x)\sim (x-{\tfrac {1}{2}})\ln x-x+{\tfrac {\ln 2\pi }{2}}+\sum {\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)x^{2k-1}}}}$, первый член поправки ${\displaystyle +{\frac {1}{12x}}}$.
10. Физика: ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\,dx}{e^{x}-1}}={\frac {\pi ^{4}}{15}}=6\,\zeta (4)=-2B_{4}\pi ^{4}}$ — полная энергия излучения чёрного тела (закон Стефана — Больцмана).
11. Гипотеза Аго — Джуги: ${\displaystyle p}$ простое тогда и только тогда, когда ${\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}}$; например, для ${\displaystyle p=5}$: ${\displaystyle 5B_{4}=-{\tfrac {1}{6}}\equiv -1{\pmod {5}}}$.