Броуновское движение

В поэме римского философа и поэта Лукреция «О природе вещей» (около 60 года до н. э.) описано движение пыли в лучах света, что автор приводит как доказательство существования атомов:

Хотя наблюдаемое движение пыли во многом определяется токами воздуха, характерное мерцание и подёргивание малых частиц объясняется истинной броуновской динамикой; Лукреций фактически описал броуновское движение, однако сам пример был неточен^[10].

Открытие явления обычно приписывают ботанику Роберту Брауну, который в 1827 году наблюдал под микроскопом за пыльцой Clarkia pulchella в воде. Частицы размером около 1/4000 дюйма совершали беспорядочные движения. Повторяя опыт с неорганическими частицами, Браун исключил возможность связи эффекта с проявлением жизни, хотя природа движения осталась неясной^[11][12].

Математические основы стохастических процессов, в том числе броуновского движения, были введены Луи Башелье в 1900 году в его докторской диссертации о биржевых и опционных рынках. Однако эта работа была почти неизвестна до 1950-х годов^[13][14].

Альберт Эйнштейн (в числе работ 1905 года) объяснил броуновское движение исходя из атомарного и молекулярного строения вещества, когда их существование ещё обсуждалось. Эйнштейн доказал связь вероятностного распределения броуновской частицы с уравнением диффузии^[14]. Его уравнения были подтверждены экспериментами Ж. Перрена в 1908 году^[15], после чего в 1923 году Норберт Винер дал полное математическое описание броуновского движения — винеровский процесс^[14].

В 2010 году впервые была экспериментально измерена мгновенная скорость броуновской частицы (стеклянной микросферы, захваченной оптическими пинцетами в воздухе), подтвердившая распределение Максвелла — Больцмана и теорему равнораспределения энергии для броуновской частицы^[16].

Теория Эйнштейна состоит из двух частей: первый этап связан с выводом уравнения диффузии для броуновских частиц, где коэффициент диффузии связывается с средним квадратичным смещением частицы, второй этап — с выражением коэффициента диффузии через измеряемые физические параметры^[17]. Это позволило Эйнштейну определить размеры атомов и число атомов в моле вещества, то есть число Авогадро. Согласно закону Авогадро, этот объём одинаков для всех идеальных газов — 22,414 литра при стандартных условиях, а определение числа Авогадро эквивалентно определению массы атома через отношение молярной массы к постоянной Авогадро.

Эйнштейн рассмотрел изменение положения броуновской частицы за время ${\displaystyle \tau }$ в одномерном (x) пространстве и ввёл зависимость числа частиц ${\displaystyle \rho (x,t)}$ в окрестности x. Разложение функции в ряд Тейлора и симметрия задачи приводят к уравнению диффузии:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}}$$

$${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Dt}}\right)}}$$

${\displaystyle \mathbb {E} {\left[x^{2}\right]}=2Dt.}$

Вторая часть теории связывает коэффициент диффузии с осреднённым смещением частицы и позволяет экспериментально определять число Авогадро и размеры молекул. Эйнштейн рассматривал динамическое равновесие противоположных по направлению потоков: например, в гравитационном поле частицы под действием силы тяжести оседают вниз, а диффузия стремится выравнивать концентрацию, перемещая их вверх. В равновесии скорости этих процессов равны, и можно записать: ${\displaystyle D=\mu k_{\text{B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}}$ где ${\displaystyle \mu }$ — подвижность частицы, ${\displaystyle \eta }$ — вязкость среды, ${\displaystyle r}$ — радиус частицы, ${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура, и ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ — постоянная Авогадро.

Экспериментальная проверка формулы Эйнштейна оказалась затруднительной. Лишь в 1908—1909 годах эксперименты Шодесега и Перрена подтвердили теорию^[11], что стало важным эмпирическим подтверждением кинетической теории тепла.

Смолуховский разработал альтернативную статистическую модель броуновского движения^[18], получив то же распределение смещений частицы, что и Эйнштейн, но отличающийся множитель (27/64). Его подход объяснял, почему даже при равновероятных столкновениях влево-вправо суммарное смещение возрастает как корень из числа столкновений. Смолуховский также попытался объяснить, почему частица не ускоряется неограниченно, и показал, что в среднем её кинетическая энергия равна энергии окружающих молекул.

В 1906 году Смолуховский опубликовал одномерную модель для броуновского движения^[19], которая, несмотря на простоту, дала качественное объяснение явления.

Уравнение Ланжевена служит более точной моделью эволюции положения частицы и учитывает случайные силы со стороны среды, отражая термические флуктуации^[16]. На больших временах динамику можно аппроксимировать броуновской динамикой.

В звёздной динамике массивные объекты (звёзды, чёрные дыры) также могут испытывать броуновское движение под действием гравитационных сил от окружающих звёзд^[20]. Например, скорость броуновского движения сверхмассивной чёрной дыры Стрельца A* в центре Млечного Пути оценивается менее чем в 1 км/с^[21].

В математике броуновское движение формализуется как винеровский процесс, непрерывный во времени стохастический процесс, введённый Норбертом Винером. Это один из наиболее известных процессов Леви (случайных процессов с независимыми и стационарными приращениями), встречающийся во многих разделах математики, экономики и физики.

Винеровский процесс W_t удовлетворяет свойствам:

1. 0
2. W_t почти наверное непрерывен
3. приращения W_t независимы
4. W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s) для любых ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

и является мартингалом с квадратичной вариацией t.

Винеровский процесс может быть построен как предельный случай случайного блуждания.

Модель броуновского движения описывает марковский процесс и задаётся стоxастическим интегральным уравнением^[22].