Анализ функций многих переменных

При изучении многих вопросов естествознания встречаются зависимости между несколькими переменными величинами, когда значения одной из этих переменных величин полностью определяются значениями остальных переменных. Например, при рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырёх переменных: трёх координат точки ${\displaystyle x,y,z}$ и времени ${\displaystyle t}$. Так, при изучении звуковых колебаний газа, плотность ${\displaystyle \rho }$ этого газа и давление ${\displaystyle p}$ определяются значениями четырёх переменных ${\displaystyle x,y,z}$ и ${\displaystyle t}$. Для изучения такого рода зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.

В теории функций нескольких переменных пользуются геометрической терминологией. Областью задания функции двух (или трёх) переменных является некоторое множество точек плоскости (или пространства). Для геометризации представлений о функции ${\displaystyle m}$ переменных вводят понятие ${\displaystyle m}$-мерного пространства, обобщающее понятия двумерной плоскости и трёхмерного пространства^[1].

Множество всевозможных упорядоченных пар ${\displaystyle (x,y)}$ вещественных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ называется координатной плоскостью.

При этом каждую пару ${\displaystyle (x,y)}$ называют точкой этой плоскости и обозначают одной буквой ${\displaystyle M}$. Числа ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ называются координатами точки ${\displaystyle M}$. Запись ${\displaystyle M(x,y)}$ означает, что точка ${\displaystyle M}$ имеет координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если между любыми двумя точками ${\displaystyle M'(x',y')}$ и ${\displaystyle M''(x'',y'')}$ координатной плоскости определено расстояние ${\displaystyle \rho (M',M'')}$ по формуле ${\displaystyle \rho (M^{\prime },M^{\prime \prime })={\sqrt {(x^{\prime \prime }-x^{\prime })^{2}+(y^{\prime \prime }-y^{\prime })^{2}}}}$.

Аналогично вводится понятие координатного и евклидова пространств.

Множество всевозможных упорядоченных троек ${\displaystyle (x,y,z)}$ чисел ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ называется координатным пространством.

Запись ${\displaystyle M(x,y,z)}$ означает, что точка ${\displaystyle M}$ имеет координаты ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$.

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ m чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ называется m-мерным координатным пространством ${\displaystyle A^{m}}$.

При этом каждую упорядоченную совокупность ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой ${\displaystyle M}$. Числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ называются координатами точки ${\displaystyle M}$.

Координатное пространство называется евклидовым пространством, если между любыми двумя точками ${\displaystyle M'(x',y',z')}$ и ${\displaystyle M''(x'',y'',z'')}$ координатного пространства определено расстояние по формуле ${\displaystyle \rho (M^{\prime },M^{\prime \prime })={\sqrt {(x^{\prime \prime }-x^{\prime })^{2}+(y^{\prime \prime }-y^{\prime })^{2}+(z^{\prime \prime }-z^{\prime })^{2}}}}$.

Координатное пространство ${\displaystyle A^{m}}$ называется m-мерным евклидовым пространством ${\displaystyle E^{m}}$, если между любыми двумя точками ${\displaystyle M'(x'_{1},x'_{2},\dots ,x'_{m})}$ и ${\displaystyle M''(x''_{1},x''_{2},\dots ,x''_{m})}$ координатного пространства ${\displaystyle A^{m}}$ определено расстояние ${\displaystyle \rho (M^{\prime },M^{\prime \prime })}$ по формуле ${\displaystyle \rho (M^{\prime },M^{\prime \prime })={\sqrt {(x_{1}^{\prime \prime }-x_{1}^{\prime })^{2}+(x_{2}^{\prime \prime }-x_{2}^{\prime })^{2}+\dots +(x_{m}^{\prime \prime }-x_{m}^{\prime })^{2}}}}$.

Евклидово m-мерное пространство представляет собой метрическое пространство.

Произвольное множество ${\displaystyle \{M\}}$, элементы которого именуются точками, называется метрическим пространством, если существует правило, с помощью которого любым двум точкам ${\displaystyle M'}$ и ${\displaystyle M''}$ множества ${\displaystyle \{M\}}$ ставится в соответствие некоторое число ${\displaystyle \rho (M',M'')}$, называемое расстоянием между этими точками.

При этом должны выполняться следующие аксиомы (аксиомы метрического пространства):

• для любых ${\displaystyle M'}$ и ${\displaystyle M''}$ расстояние ${\displaystyle \rho (M',M'')=\rho (M'',M')}$ (симметрия расстояния);
• для любых ${\displaystyle M'}$ и ${\displaystyle M''}$ расстояние ${\displaystyle \rho (M',M'')\geqslant 0}$, причём, если ${\displaystyle \rho (M',M'')=0}$, то точки ${\displaystyle M'}$ и ${\displaystyle M''}$совпадают;
• для любых трёх точек ${\displaystyle M'}$, ${\displaystyle M''}$ и ${\displaystyle M^{\prime \prime \prime }}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \rho (M',M''')\leqslant \rho (M',M'')+\rho (M'',M''')}$ (неравенство треугольника)^[2].

Введённые понятия координатной плоскости и координатного пространства представляют собой аналоги числовой прямой, а евклидова плоскость и евклидово пространство представляют собой аналоги евклидовой прямой.

Числовая прямая, между любыми двумя точками ${\displaystyle x^{\prime }}$ и ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ которой определено расстояние ${\displaystyle \rho (x',x'')}$ по формуле ${\displaystyle \rho (x',x'')={\sqrt {(x''-x')^{2}}}=\vert {}x''-x'\vert {}}$.

Используя геометрическую терминологию, понятие функции одной переменной формулируется следующим образом:

Если каждой точке ${\displaystyle M}$ из некоторого множества ${\displaystyle \{M\}}$ точек евклидовой прямой ставится в соответствие по известному закону некоторое число ${\displaystyle u}$, то говорят, что на множестве ${\displaystyle \{M\}}$ задана функция ${\displaystyle u=u(M)}$ или ${\displaystyle u=f(M)}$.

Если каждой точке ${\displaystyle M}$ из некоторого множества ${\displaystyle \{M\}}$ точек евклидовой плоскости ставится в соответствие по известному закону некоторое число ${\displaystyle u}$, то говорят, что на множестве ${\displaystyle \{M\}}$ задана функция ${\displaystyle u=u(M)}$ или ${\displaystyle u=f(M)}$.

Аналогично вводится понятие функции трёх переменных. Для этого вместо множества ${\displaystyle \{M\}}$ точек евклидовой плоскости берут множество ${\displaystyle \{M\}}$ точек евклидова пространства.

Так как точка ${\displaystyle M}$ евклидовой плоскости определяется двумя координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, а точка ${\displaystyle M}$ евклидова пространства — тремя координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$, то для функций двух и трёх переменных употребляют соответственно обозначения ${\displaystyle u=f(x,y)}$ и ${\displaystyle u=f(x,y,z)}$.

Если функция ${\displaystyle u=f(M)}$ задана на множестве ${\displaystyle \{M\}}$, то это множество называется областью задания функции ${\displaystyle u=f(M)}$.

Число ${\displaystyle u}$, соответствующее данной точке ${\displaystyle M}$ из множества ${\displaystyle \{M\}}$, называют частным значением функции в точке ${\displaystyle M}$.

Совокупность ${\displaystyle \{u\}}$ всех частных значений функции ${\displaystyle u=f(M)}$ называется множеством значений этой функции.

Для функции двух переменных определение графика следующее:

Графиком функции ${\displaystyle u=f(x,y)}$ называется поверхность, точки которой имеют координаты ${\displaystyle (x,y,f(x,y))}$.

Если каждой точке ${\displaystyle M}$ из множества ${\displaystyle \{M\}}$ точек m-мерного евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$ ставится в соответствие по известному закону некоторое число ${\displaystyle u}$, то говорят, что на множестве ${\displaystyle \{M\}}$ задана функция ${\displaystyle u=u(M)}$ или ${\displaystyle u=f(M)}$. При этом множество ${\displaystyle \{M\}}$ называется областью задания функции ${\displaystyle u=f(M)}$.

Число ${\displaystyle u}$, соответствующее данной точке ${\displaystyle M}$ из множества ${\displaystyle \{M\}}$, будем называть частным значением функции в точке ${\displaystyle M}$. Совокупность ${\displaystyle \{u\}}$ всех частных значений функции ${\displaystyle u=f(M)}$ называется множеством значений этой функции.

Последовательность ${\displaystyle \{M\}}$ точек евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$ называется сходящейся, если существует такая точка ${\displaystyle A}$, что для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно указать номер ${\displaystyle N}$ такой, что при ${\displaystyle n\geqslant N}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \rho (M_{n},A)<\varepsilon }$. При этом точка ${\displaystyle A}$ называется пределом последовательности ${\displaystyle \{M_{n}\}}$: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }M_{n}=A}$.

Лемма 1. Пусть последовательность ${\displaystyle \{M_{n}\}}$ точек евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$ сходится к точке ${\displaystyle A}$. Тогда последовательности ${\displaystyle \{x_{1}^{(n)}\},\{x_{2}^{(n)}\},\dots ,\{x_{m}^{(n)}\}}$ координат точек ${\displaystyle M_{n}}$ сходятся к соответствующим координатам ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$ точки ${\displaystyle A}$, и наоборот, если последовательности ${\displaystyle \{x_{1}^{(n)}\},\{x_{2}^{(n)}\},\dots ,\{x_{m}^{(n)}\}}$ координат точек ${\displaystyle M_{n}}$ сходятся соответственно к числам ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$, то последовательность ${\displaystyle \{M_{n}\}}$ сходится к точке ${\displaystyle A}$ с координатами ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}$.

Последовательность ${\displaystyle \{M_{n}\}}$ точек m-мерного евклидова пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно указать такой номер ${\displaystyle N}$, что при ${\displaystyle n\geqslant N}$ и для любого натурального ${\displaystyle p}$ выполняется неравенство ${\displaystyle \rho (M_{n+p},M_{n})<\varepsilon }$^[3].

Говорят, что функция ${\displaystyle f(M)}$ удовлетворяет в точке ${\displaystyle M=A}$ условию Коши, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ найдётся положительное число ${\displaystyle \delta }$ такое, что, каковы бы ни были две точки ${\displaystyle M^{\prime }}$ и ${\displaystyle M^{\prime \prime }}$ из области задания функции ${\displaystyle f(M)}$, удовлетворяющие неравенствам ${\displaystyle 0<\rho (M',A)<\delta }$, ${\displaystyle 0<\rho (M'',A)<\delta }$, для соответствующих значений функций справедливо неравенство

${\displaystyle |f(M^{\prime })-f(M^{\prime \prime })|<\varepsilon }$.

Для того чтобы функция ${\displaystyle f(M)}$ имела конечное предельное значение в точке ${\displaystyle M=A}$, необходимо и достаточно, чтобы функция ${\displaystyle f(M)}$ удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle A}$, если предельное значение этой функции в точке ${\displaystyle A}$ существует и равно частному значению ${\displaystyle f(A)}$. Отметим, что так как ${\displaystyle A=\lim _{M\to A}M}$, то условие непрерывности функции можно записать в следующей форме:

${\displaystyle \lim _{M\rightarrow A}f(M)=f\left(\lim _{M\rightarrow A}M\right)}$.

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle A}$, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно указать такое положительное число ${\displaystyle \delta }$, что для всех точек ${\displaystyle M}$ из области задания функции, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \rho (M,A)<\delta }$, выполняется неравенство ${\displaystyle \vert {}f(M)-f(A)\vert {}<\varepsilon }$.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется непрерывной на множестве ${\displaystyle \{M\}}$, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Для определения непрерывности функции по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных рассматривают частные приращения функции ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ в точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$, принадлежащей области определения функции. Зафиксировав все аргументы, кроме первого ${\displaystyle x_{1}}$, ему придают произвольное приращение ${\displaystyle \Delta x_{1}}$ такое, чтобы точка с координатами ${\displaystyle x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ находилась в области задания функции. В этом случае приращение функции называется частным приращением функции в точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$, соответствующим приращению ${\displaystyle \Delta x_{1}}$ аргумента ${\displaystyle x_{1}}$, и обозначается ${\displaystyle \Delta _{x_{1}}u}$. Оно равно

${\displaystyle \Delta _{x_{1}}u=f(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})-f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$.

Аналогично определяются частные приращения функции, соответствующие приращениям других аргументов:

${\displaystyle \Delta _{x_{m}}u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m-1},x_{m}+\Delta x_{m})-f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$.

Функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ называется непрерывной в точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ по переменной ${\displaystyle x_{k}}$, если частное приращение ${\displaystyle \Delta _{x_{k}}u}$ этой функции в точке ${\displaystyle M}$ представляет собой бесконечно малую функцию от ${\displaystyle \Delta x_{k}}$, то есть если${\displaystyle \lim _{\Delta x_{k}\rightarrow 0}\Delta _{x_{k}}u=0}$.

Непрерывность функции ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ по переменной ${\displaystyle x_{k}}$ означает непрерывность указанной функции одной переменной. Из условия непрерывности функции ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ в данной точке ${\displaystyle M}$ вытекает непрерывность этой функции в точке ${\displaystyle M}$ по каждой из переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$. Однако из непрерывности функции в точке ${\displaystyle M}$ по каждой из переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ не вытекает непрерывность функции в этой точке^[4].

Если функции ${\displaystyle f(M)}$ и ${\displaystyle {\text{g}}(M)}$ заданы на одном и том же множестве ${\displaystyle \{M\}}$ и непрерывны в некоторой точке ${\displaystyle A}$ этого множества, то функции ${\displaystyle {f(M)+{\text{g}}(M)}}$, ${\displaystyle {f(M)-{\text{g}}(M)}}$, ${\displaystyle f(M)\cdot {\text{g}}(M)}$ и ${\displaystyle {\frac {f(M)}{{\text{g}}(M)}}}$ также непрерывны в точке ${\displaystyle A}$ (в случае частного нужно дополнительно потребовать, чтобы ${\displaystyle {\text{g}}(A)\neq 0}$).

Пусть функции ${\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(t_{1},\dots ,t_{k})}$, ${\displaystyle x_{2}=\varphi _{2}(t_{1},\dots ,t_{k})}$,…, ${\displaystyle x_{m}=\varphi _{m}(t_{1},\dots ,t_{k})}$ непрерывны в точке ${\displaystyle A(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$, а функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ непрерывна в точке ${\displaystyle B(b_{1},b_{2},\dots ,b_{m})}$, где ${\displaystyle b_{i}=\varphi _{i}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,m}$. Тогда сложная функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$, где ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}}$ представляют собой определённые выше функции аргументов ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{k}}$, непрерывна в точке ${\displaystyle A(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$.

Если функция ${\displaystyle u=f(M)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle A}$ евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$ и если ${\displaystyle f(A)\neq 0}$, то существует такая ${\displaystyle \delta }$-окрестность точки ${\displaystyle A}$, в пределах которой ${\displaystyle f(M)}$ не обращается в нуль и имеет знак, совпадающий со знаком ${\displaystyle f(A)}$.

Пусть функция ${\displaystyle u=f(M)}$ непрерывна во всех точках связного множества ${\displaystyle \{M\}}$ евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$, причём ${\displaystyle f(A)}$ и ${\displaystyle f(B)}$ — значения этой функции в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ этого множества. Пусть, далее, ${\displaystyle C}$ — любое число, заключённое между ${\displaystyle f(A)}$ и ${\displaystyle f(B)}$. Тогда на любой непрерывной кривой ${\displaystyle L}$, соединяющей точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ и целиком располагающейся в ${\displaystyle \{M\}}$, найдётся точка ${\displaystyle N}$ такая, что ${\displaystyle f(N)=C}$.

Если функция ${\displaystyle u=f(M)}$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве ${\displaystyle \{M\}}$, то она ограничена на этом множестве.

Точной верхней гранью функции ${\displaystyle f(M)}$ на множестве ${\displaystyle \{M\}}$ называется такое число ${\displaystyle {\bar {u}}}$, которое удовлетворяет двум требованиям:

1. ${\displaystyle f(M)\leq {\bar {u}}}$ для всех точек ${\displaystyle M}$ множества ${\displaystyle \{M\}}$.
2. Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся хотя бы одна точка ${\displaystyle M}$ множества ${\displaystyle \{M\}}$, для которой ${\displaystyle f(M)>{\bar {u}}-\varepsilon }$\(\). Записывается как ${\displaystyle {\bar {u}}=\sup _{\{M\}}f(M)}$. Аналогично определяется точная нижняя грань ${\displaystyle {\underline {u}}}$ функции ${\displaystyle f(M)}$ на множестве ${\displaystyle \{M\}}$. Записывается как ${\displaystyle {\underline {u}}=\inf _{\{M\}}f(M)}$.

Если функция ${\displaystyle u=f(M)}$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве ${\displaystyle \{M\}}$, то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

Функция ${\displaystyle u=f(M)}$ называется равномерно непрерывной на множестве ${\displaystyle \{M\}}$ евклидова пространства ${\displaystyle E^{m}}$, если для любого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ можно указать такое положительное ${\displaystyle \delta }$, зависящее только от ${\displaystyle \varepsilon }$, что для любых двух точек ${\displaystyle M^{\prime }}$ и ${\displaystyle M^{\prime \prime }}$ множества, удовлетворяющих условию ${\displaystyle \rho (M',M'')<\delta }$, выполняется неравенство ${\displaystyle \vert f(M')-f(M'')\vert <\varepsilon }$.

Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве^[5].

Частная производная первого порядка функции многих переменных — производная функция по одной из переменных при условии, что все остальные переменные фиксированы. Например, если функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$, то частная производная ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x_{1}}$ в рассматриваемой точке равна обычной производной ${\displaystyle {\frac {df}{dx_{1}}}(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ в точке ${\displaystyle x_{1}^{(0)}}$ функции ${\displaystyle f(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ одной переменной ${\displaystyle x_{1}}$.

Иначе говоря,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})=\left.{\frac {df}{dx_{1}}}(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})\right|{}_{x_{1}=x_{1}^{(0)}}=}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta x_{1}\rightarrow 0}{\frac {\Delta _{x_{1}}f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}{\Delta x_{1}}}}$,

где ${\displaystyle \Delta _{x_{1}}f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})=}$${\displaystyle f(x_{1}^{(0)}+\Delta x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})-f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$.

Частные производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}f}{\partial x_{1}^{m_{1}}\dots \partial x_{n}^{m_{n}}}},\quad m_{1}+\dots +m_{n}=m}$ , порядков ${\displaystyle m>1}$ определяются по индукции:

если определена частная производная ${\displaystyle {\frac {\partial ^{k-1}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{i}^{k_{i}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\quad k_{1}+\dots +k_{i}+\dots +k_{n}=k-1}$, то, по определению,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{i}^{k_{i}+1}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial ^{k-1}f}{\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{i}^{k_{i}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}}\right)}$^[6].

Частный дифференциал первого порядка функции многих переменных — дифференциал функции по одной из переменных при условии, что все остальные переменные фиксированы. Например, если функция ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ определена в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$, то частный дифференциал ${\displaystyle d_{x_{1}}f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ функции ${\displaystyle f}$ по переменной ${\displaystyle x_{1}}$в рассматриваемой точке равен обычному дифференциалу ${\displaystyle df(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ в точке ${\displaystyle x_{1}^{(0)}}$ функции ${\displaystyle f(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ одной переменной ${\displaystyle x_{1}}$,

то есть ${\displaystyle d_{x_{1}}f\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)}\right)=\left.df\left(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)}\right)\right|_{x_{1}=x_{1}^{(0)}}=}$${\displaystyle ={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\left(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)}\right)dx_{1}}$.

Отсюда следует, что${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}={\frac {d_{x_{1}}f}{dx_{1}}}}$.

Аналогично определяется и частный дифференциал порядка ${\displaystyle k>1}$: например, частный дифференциал ${\displaystyle d_{x_{k}}^{k}f(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ порядка ${\displaystyle k}$ функции ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ по переменной ${\displaystyle x_{1}}$ в точке ${\displaystyle (x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ называется дифференциал порядка ${\displaystyle k}$ функции${\displaystyle f(x_{1},x_{2}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})}$ одной переменной \${\displaystyle x_{1}}$ в точке ${\displaystyle x_{1}^{(0)}}$.

Отсюда следует, что ${\displaystyle d_{x_{i}}^{k}f(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})={\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{i}^{k}}}(x_{1}^{(0)},\dots ,x_{n}^{(0)})dx_{i}^{k}}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n,\quad k=1,2,\dots }$^[7].

Функция ${\displaystyle u=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$ называется дифференцируемой в данной точке ${\displaystyle M(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})}$, если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

${\displaystyle \Delta u=A_{1}\Delta x_{1}+A_{2}\Delta x_{2}+\dots +A_{m}\Delta x_{m}+\alpha _{1}\Delta x_{1}+\alpha _{2}\Delta x_{2}+\dots +\alpha _{m}\Delta x_{m}}$, где ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$ — некоторые не зависящие от ${\displaystyle \Delta x_{1},\Delta x_{2},\dots ,\Delta x_{m}}$ числа, а ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{m}}$ — бесконечно малые при ${\displaystyle \Delta x_{1}\to 0,\Delta x_{2}\to 0,\dots ,\dots ,\Delta x_{m}\to 0}$ функции, равные нулю при ${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{2}=\dots =\Delta x_{m}=0}$.

Это соотношение называется условием дифференцируемости функции в данной точке ${\displaystyle M}$. Условие дифференцируемости можно записать в иной форме:

${\displaystyle \Delta u=A_{1}\Delta x_{1}+A_{2}\Delta x_{2}+\dots +A_{m}\Delta x_{m}+o(\rho )}$.

При этом величину ${\displaystyle o(\rho )}$ считают равной нулю при ${\displaystyle \rho =0}$.

Условие дифференцируемости можно проиллюстрировать геометрически для случая функции ${\displaystyle u=f(x,y)}$ двух переменных. Для этого вводят понятие касательной плоскости к поверхности в точке:

Плоскость ${\displaystyle \Pi }$, проходящая через точку ${\displaystyle N_{0}}$ поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку ${\displaystyle N_{0}}$ и любую точку ${\displaystyle N_{1}}$ поверхности, стремится к нулю, когда точка ${\displaystyle N_{1}}$ стремится к ${\displaystyle N_{0}}$.

Дифференцируемость функции ${\displaystyle u=f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$ с геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику функции ${\displaystyle u=f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle N_{0}(x_{0},y_{0},u_{0})}$.

Так как коэффициенты ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ равны соответственно частным производным, вычисленным в точке ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$, то уравнение касательной плоскости может быть записано в виде

${\displaystyle U-u_{0}={\frac {\partial u}{\partial x}}(x-x_{0})+{\frac {\partial u}{\partial y}}(y-y_{0})}$.

Нормальный вектор ${\displaystyle \mathbf {n} =\left\{{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},-1\right\}}$ касательной плоскости называют нормалью к поверхности ${\displaystyle u=f(x,y)}$ в точке ${\displaystyle N_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})}$^[8].