Формула Фаульхабера

Формула Фаульхабера — выражение для суммы ${\displaystyle p}$-х степеней первых ${\displaystyle n}$ натуральных чисел:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+2^{p}+3^{p}+\cdots +n^{p}}$

как многочлена ${\displaystyle (p+1)}$-й степени с коэффициентами, содержащими числа Бернулли:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={1 \over p+1}\sum _{j=0}^{p}{p+1 \choose j}B_{j}n^{p+1-j}}$.

Названа в честь математика XVII века Иоганна Фаульхабера; также известна как формула Бернулли.

Формулы для первых шести степеней:

${\displaystyle 1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}}$ (треугольные числа)

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}}$ (квадратные пирамидальные числа)

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}}}$ (квадраты треугольных чисел)

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\\&={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}&={\frac {[n(n+1)]^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}\\&={\frac {2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2}}{12}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}&={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}\\&={\frac {6n^{7}+21n^{6}+21n^{5}-7n^{3}+n}{42}}\end{aligned}}}$