Тензорный анализ

Идеи ковариантного дифференцирования восходят к теории поверхностей К. Ф. Гаусса (Theorema Egregium, 1827) и лекции Б. Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (1854). Э. Б. Кристоффель (1869) ввёл символы преобразования квадратичных форм.

Систему «абсолютного дифференциального исчисления» создали Г. Риччи-Курбастро и его ученик Т. Леви-Чивита; итогом стала фундаментальная статья 1900 года^[3]. Этим аппаратом воспользовались А. Эйнштейн и М. Гроссман при создании общей теории относительности (1913–1915).

В 1918 году Г. Вейль попытался объединить гравитацию и электромагнетизм, введя понятие «калибровочной инвариантности» (изначально для масштаба, позже адаптированное Ф. Фоком и Ф. Лондоном для фазы волновой функции), что заложило основы современных калибровочных теорий.

Э. Картан в 1899–1920-е годы развил исчисление внешних форм, метод подвижного репера и обобщил понятие связности (связность Картана). Я. А. Схоутен систематизировал «Ricci-calculus». Алгебраическое определение связности на модуле векторных полей дал Ж.-Л. Кошуль (1950). Современный язык векторных и главных расслоений был окончательно закреплён в монографии С. Кобаяси и К. Номидзу (1963)^[1]. Сегодня тензорный анализ и его обобщения являются неотъемлемой частью математического аппарата теории струн (многообразия Калаби — Яу) и топологической теории поля.

Прежде чем переходить к дифференцированию, тензорный анализ определяет алгебраические операции, сохраняющие тензорную природу объектов^[4][5]:

• Тензорное произведение ${\displaystyle \otimes }$: если ${\displaystyle T}$ имеет тип ${\displaystyle (p,q)}$, а ${\displaystyle S}$ — тип ${\displaystyle (r,s)}$, то ${\displaystyle T\otimes S}$ имеет тип ${\displaystyle (p+r,q+s)}$.
• Свёртка (contraction): операция, понижающая валентность тензора на 2, путём приравнивания одного верхнего и одного нижнего индекса и суммирования по ним (например, след матрицы ${\displaystyle T_{i}^{i}}$).
• Симметризация и альтернирование: обозначаются круглыми ${\displaystyle T_{(ij)}={\frac {1}{2}}(T_{ij}+T_{ji})}$ и квадратными ${\displaystyle T_{[ij]}={\frac {1}{2}}(T_{ij}-T_{ji})}$ скобками соответственно.
• Поднятие и опускание индексов: при наличии метрического тензора ${\displaystyle g_{ij}}$ и обратного к нему ${\displaystyle g^{ij}}$ можно преобразовывать ковариантные индексы в контравариантные и наоборот: ${\displaystyle T^{i}=g^{ij}T_{j}}$.
• Оператор Ходжа (${\displaystyle *}$): отображает ${\displaystyle p}$-форму в ${\displaystyle (n-p)}$-форму на ${\displaystyle n}$-мерном ориентированном римановом многообразии. Позволяет определить скалярное произведение форм и лапласиан де Рама ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$, где ${\displaystyle \delta }$ — кодифференциал.

Ковариантная производная вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$ — это оператор ${\displaystyle \nabla _{X}}$, действующий на векторные поля, линейный по ${\displaystyle X}$ над кольцом гладких функций и удовлетворяющий правилу Лейбница^[6][7]:

${\displaystyle \nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z,}$

${\displaystyle \nabla _{X}(fZ)=f\nabla _{X}Z+(Xf)\,Z.}$

Оператор ${\displaystyle \nabla }$ (называемый связностью) однозначно продолжается на всю алгебру тензоров как дифференцирование, сохраняющее тип ${\displaystyle (p,q)}$ и перестановочное со свёрткой.

Различают несколько специальных типов связностей^[8]:

• Связность Леви-Чивиты: единственная связность на римановом многообразии, которая является метрической (${\displaystyle \nabla g=0}$) и симметричной (не имеет кручения, ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$)^[9].
• Тензор кручения: для произвольной связности определяется как ${\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$. В римановой геометрии он равен нулю, но играет ключевую роль в теориях гравитации с кручением (например, теория Эйнштейна — Картана).
• Плоская связность: связность, тензор кривизны которой тождественно равен нулю (${\displaystyle R=0}$). На многообразии с такой связностью локально существует базис параллельных векторных полей.

В локальных координатах ${\displaystyle u^{1},\dots ,u^{n}}$ действие связности задаётся символами Кристоффеля ${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}}$. Для связности Леви-Чивиты:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}={\frac {1}{2}}g^{is}{\bigl (}\partial _{j}g_{sk}+\partial _{k}g_{sj}-\partial _{s}g_{jk}{\bigr )}.}$

Тензорный анализ естественным образом обобщается с касательного расслоения ${\displaystyle TM}$ на произвольное гладкое векторное расслоение ${\displaystyle E\to M}$ ранга ${\displaystyle k}$.

• Ковариантный дифференциал сечения ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ есть ${\displaystyle \nabla s\in \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$.
• В локальном тривиализации связность задаётся формой связности ${\displaystyle \omega }$ (матричнозначной 1-формой размера ${\displaystyle k\times k}$)^[10].
• Форма кривизны определяется как ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$ (уравнение структуры Картана)^[11].
• Голономия описывает, как изменяется сечение при параллельном переносе вдоль замкнутой петли; группа голономии является важным инвариантом расслоения (теорема Амброза — Зингера связывает алгебру Ли группы голономии со значениями формы кривизны)^[12][13].

Кривизна есть инвариант связности ${\displaystyle \nabla }$. Координатно-свободное определение:

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

В координатах (при соглашении ${\displaystyle R(\partial _{k},\partial _{l})\partial _{j}=R^{i}{}_{jkl}\,\partial _{i}}$):

${\displaystyle R^{i}{}_{jkl}=\partial _{k}\Gamma ^{i}{}_{lj}-\partial _{l}\Gamma ^{i}{}_{kj}+\Gamma ^{i}{}_{kp}\Gamma ^{p}{}_{lj}-\Gamma ^{i}{}_{lp}\Gamma ^{p}{}_{kj}.}$

Фундаментальную роль играют тождества Бианки^[14][15]: 1. Первое (алгебраическое) тождество Бианки (для связности без кручения):

  : ${\displaystyle R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0.}$

2. Второе (дифференциальное) тождество Бианки:

  : ${\displaystyle \nabla _{m}R_{ijkl}+\nabla _{i}R_{jmkl}+\nabla _{j}R_{mikl}=0.}$

Следствия: Свёртка второго тождества Бианки приводит к тому, что дивергенция тензора Эйнштейна ${\displaystyle G_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{2}}Rg_{ij}}$ тождественно равна нулю (${\displaystyle \nabla ^{i}G_{ij}=0}$). Это математическая основа закона сохранения энергии-импульса в общей теории относительности.

Производная Ли ${\displaystyle L_{X}}$ измеряет изменение тензорного поля вдоль потока, порождённого векторным полем ${\displaystyle X}$. Для векторных полей ${\displaystyle L_{X}Y=[X,Y]}$. Векторное поле ${\displaystyle X}$ является полем Киллинга (генерирует изометрии), если ${\displaystyle L_{X}g=0}$, что эквивалентно ${\displaystyle \nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0}$^[16].

Внешний дифференциал ${\displaystyle d}$ действует на дифференциальные формы, повышая их степень на 1, и удовлетворяет ${\displaystyle d(\omega _{1}\wedge \omega _{2})=d\omega _{1}\wedge \omega _{2}+(-1)^{\deg \omega _{1}}\omega _{1}\wedge d\omega _{2}}$ и ${\displaystyle d^{2}=0}$. В координатах:

${\displaystyle (d\omega )_{i_{0}i_{1}\ldots i_{p}}=\sum _{k=0}^{p}(-1)^{k}\partial _{i_{k}}\omega _{i_{0}\ldots {\widehat {i_{k}}}\ldots i_{p}},}$

где «крышка» означает пропуск индекса. Локальное условие ${\displaystyle d\omega =0}$ влечёт ${\displaystyle \omega =d\eta }$ (лемма Пуанкаре); глобальное препятствие описывается когомологиями де Рама^[17].

• Риманова геометрия и общая теория относительности. Уравнения Эйнштейна ${\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$ записываются через свёртки тензора Риччи. Ковариантная производная обеспечивает принцип общей ковариантности^[18][19].
• Механика сплошной среды. Тензор малых деформаций ${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\nabla _{i}u_{j}+\nabla _{j}u_{i})}$. Для больших деформаций и жидкостей используются объективные производные (производная Ли, производная Олдройда), гарантирующие независимость уравнений от выбора системы отсчёта.
• Калибровочные теории поля. В Стандартной модели физики элементарных частиц калибровочные поля (глюоны, W- и Z-бозоны) описываются как связности на главных расслоениях. Тензор напряжённости поля Янга — Миллса ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$ является в точности формой кривизны ${\displaystyle \Omega }$.
• Машинное обучение и оптимизация. Риманова геометрия и тензорный анализ применяются для оптимизации на многообразиях (Riemannian optimization), например, при работе с многообразиями симметричных положительно определённых матриц (ковариационные матрицы) или в информационной геометрии (метрика Фишера).

В современной прикладной математике тензорный анализ реализуется алгоритмически^[20]:

• Символьные вычисления: системы компьютерной алгебры (Mathematica, Maple, SymPy) имеют встроенные пакеты для автоматического вычисления символов Кристоффеля, тензора Римана и Риччи по заданной метрике.
• Дискретный тензорный анализ: в компьютерной графике и физическом моделировании (например, метод конечных элементов) используется дискретное внешнее исчисление (Discrete Exterior Calculus, DEC), где дифференциальные формы аппроксимируются на симплициальных комплексах (сетках), а внешняя производная ${\displaystyle d}$ заменяется матрицей инцидентности.
• Алгоритмы параллельного переноса: для дискретных поверхностей (3D-мешей) применяются алгоритмы вроде «лестницы Шильда» (Schild's ladder) для численного параллельного переноса векторов вдоль геодезических без явного вычисления связности.