Правило произведения

• Для производной

  ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}$

• Для дифференциала

  ${\displaystyle d(f\cdot g)=(df)\cdot g+f\cdot (dg)}$

Для ${\displaystyle n}$-й производной существует обобщённая формула Лейбница:

${\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ — биномиальные коэффициенты.

Операция ${\displaystyle \delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}}$ на градуированной алгебре ${\displaystyle \Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}}$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых ${\displaystyle K\in \Omega ^{k}}$, ${\displaystyle F\in \Omega }$

${\displaystyle \delta _{l}(K\wedge F)=\delta _{l}(K)\wedge F+(-1)^{kl}K\wedge \delta _{l}(F)}$

где ${\displaystyle \wedge }$ — умножение в ${\displaystyle \Omega }$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C].}$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора ${\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}$ По этой причине оператор ${\displaystyle D_{A}}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}$

Как следствие, ${\displaystyle [A,B_{1}B_{2}\dots B_{n}]=[A,B_{1}]B_{2}\dots B_{n}+B_{1}[A,B_{2}]\dots B_{n}+\dots +B_{1}B_{2}\dots [A,B_{n}].}$