Додекаэдральное число

Додекаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел, связанная с додекаэдром . Общая формула^[1] для ${\displaystyle n}$-го по порядку додекаэдрального числа ${\displaystyle D_{n}}$:

${\displaystyle D_{n}=n{\frac {(3n-1)(3n-2)}{2}}}$

Первые из додекаэдральных чисел (последовательность A006566 в OEIS):

${\displaystyle 1,20,84,220,455,816,1330,2024,2925,4060\dots }$

Рекуррентная формула^[1]:

${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{\frac {27n^{2}-45n+20}{2}};\quad D_{1}=1}$

Производящая функция последовательности^[1]:

${\displaystyle {\frac {x(1+16x+10x^{2})}{(x-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}x^{n};\quad |x|<1}$

Связь с тетраэдральными числами^[1] ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$:

${\displaystyle D_{n}=\mathbb {T} _{n}+16\mathbb {T} _{n-1}+10\mathbb {T} _{n-2}\quad (n>2)}$

Из общей формулы видно, что додекаэдральное число всегда составное (делится на ${\displaystyle n}$).