Вероятностное пространство

Вероятностное пространство — это математическая тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, представляющая модель определённого класса реальных ситуаций. Как и в других моделях, автор сам определяет, какие элементы будут входить в ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle P}$.

• Пространство элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$ — множество всех возможных исходов. Исход — результат одного выполнения модели. Исходами могут быть состояния природы, возможности, экспериментальные результаты и т. п. Каждый запуск эксперимента должен приводить ровно к одному исходу. Если исходы разных запусков различаются по признакам, важным для анализа, они считаются разными исходами. То, какие различия существенны, зависит от целей анализа, что приводит к разным вариантам выбора пространства исходов.
• Сигма-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — совокупность всех рассматриваемых событий. Может включать или не включать каждое элементарное событие. Событие — это множество из нуля или более исходов, то есть подмножество пространства исходов. Событие считается «произошедшим» в эксперименте, если реализованный исход принадлежит этому событию. Поскольку один исход может входить в несколько событий, при одном исходе может произойти несколько событий. Например, при броске двух костей событие «сумма очков равна 7» и событие «выпало нечётное число очков» могут пересекаться. Если выпал исход «двойка на первой кости и пятёрка на второй», то оба события считаются произошедшими.
• Вероятностная мера ${\displaystyle P}$ — функция на множестве событий, возвращающая вероятность события. Вероятность — это вещественное число от 0 (невозможное событие, хотя событие с вероятностью 0 не обязательно невозможно) до 1 (событие происходит почти наверняка, с практически полной уверенностью). Таким образом, ${\displaystyle P}$ — функция ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$. Вероятностная мера должна удовлетворять двум условиям: во-первых, вероятность счётного объединения попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. Например, вероятность объединения событий «орёл» и «решка» при одном броске монеты равна сумме вероятностей этих событий: ${\displaystyle P({\text{Орёл}}\cup {\text{Решка}})=P({\text{Орёл}})+P({\text{Решка}})}$. Во-вторых, вероятность пространства исходов ${\displaystyle \Omega }$ равна 1 (что отражает тот факт, что при каждом запуске модели обязательно произойдёт какой-то исход). В приведённом примере вероятность ${\displaystyle P(\{{\text{Орёл}},{\text{Решка}}\})=1}$, так как обязательно выпадет либо орёл, либо решка (другие варианты не рассматриваются).

Не каждое подмножество пространства ${\displaystyle \Omega }$ обязательно считается событием: некоторые подмножества не представляют интереса, другие не могут быть измерены. Это неочевидно, например, для броска монеты, но в случае, скажем, метания копья, событиями обычно являются интервалы («от 60 до 65 метров») и их объединения, но не такие множества, как «иррациональные числа между 60 и 65 метрами».

Кратко, вероятностное пространство — это пространство с мерой, мера которого на всём пространстве равна единице.

Более формально, вероятностное пространство — это тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, где:

• Пространство элементарных исходов ${\displaystyle \Omega }$ — произвольное непустое множество,
• Сигма-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ (также называемая сигма-полем) — множество подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, называемых событиями, такое что:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ содержит всё пространство исходов: ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$,
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнута относительно дополнения: если ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, то и ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}}$,
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнута относительно счётных объединений: если ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots }$, то ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • Следствие из двух предыдущих свойств и закон де Моргана: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ также замкнута относительно счётных пересечений: если ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ для ${\displaystyle i=1,2,\dots }$, то ${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
• Вероятностная мера ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$ — функция на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, такая что:
  • P счётно-аддитивна (или сигма-аддитивна): если ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$ — счётное семейство попарно несовместимых множеств, то ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • мера всего пространства исходов равна единице: ${\displaystyle P(\Omega )=1}$.

В дискретной теории вероятностей достаточно рассматривать счётные пространства исходов ${\displaystyle \Omega }$. Вероятности можно приписывать точкам ${\displaystyle \Omega }$ с помощью функции вероятности ${\displaystyle p:\Omega \to [0,1]}$ так, что ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1}$. Все подмножества ${\displaystyle \Omega }$ считаются событиями (то есть ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ — булеан). Вероятностная мера принимает вид

$${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\quad {\text{ для всех }}A\subseteq \Omega .}$$

(⁎)

Максимальная сигма-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\Omega }}$ соответствует полной информации. В общем случае сигма-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ соответствует конечному или счётному разбиению ${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$, а событие ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ имеет вид ${\displaystyle A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots }$. См. также примеры ниже.

Случай ${\displaystyle p(\omega )=0}$ допускается определением, но редко используется, так как такие ${\displaystyle \omega }$ можно безопасно исключить из пространства исходов.

Если Ω несчётно, всё же может быть, что P(ω) ≠ 0 для некоторых ω; такие ω называются атомами. Это не более чем счётное (возможно, пустое) множество, сумма вероятностей всех атомов которого равна их общей вероятности. Если эта сумма равна 1, то все остальные точки можно исключить, и задача сводится к дискретному случаю. Если сумма вероятностей всех атомов лежит между 0 и 1, вероятностное пространство раскладывается на дискретную (атомарную) и неатомарную части.

Если P(ω) = 0 для всех ω ∈ Ω (в этом случае Ω обязательно несчётно, иначе P(Ω) = 1 не выполняется), то формула (⁎) не работает: вероятность множества не обязательно равна сумме вероятностей его элементов, так как сумма определена только для счётных множеств. Здесь применяется более сильный аппарат — теория меры. Сначала вероятности приписываются некоторым «генераторам» (см. примеры), затем с помощью предельного перехода определяются вероятности для множеств, являющихся пределами последовательностей генераторов, и так далее. Все такие множества образуют сигма-алгебру ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Множества из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ называются измеримыми. Обычно они гораздо сложнее генераторов, но гораздо лучше, чем неизмеримые.

Вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)}$ называется полным, если для любого ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ с ${\displaystyle P(B)=0}$ и любого ${\displaystyle A\;\subset \;B}$ выполняется ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$. Часто изучаются только полные вероятностные пространства.