Оператор Лапласа

Функции ${\displaystyle F\ }$ он ставит в соответствие функцию

${\displaystyle \Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}}}$

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: ${\displaystyle \Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad} }$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля ${\displaystyle \ \operatorname {grad} F}$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$^[3], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Оператор Лапласа для вектора ${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k} }$:

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k} }$^[4]

Лапласиан вектора - тоже вектор.

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ имеет в окрестности точки ${\displaystyle \ x_{0}}$ непрерывную вторую производную ${\displaystyle \ f''(x)}$, то, как это следует из формулы Тейлора

${\displaystyle \ f(x_{0}+r)=f(x_{0})+rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}$ при ${\displaystyle r\to 0,}$,

${\displaystyle \ f(x_{0}-r)=f(x_{0})-rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}$ при ${\displaystyle r\to 0,}$

вторая производная есть предел

${\displaystyle \ f''(x_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2}{r^{2}}}\left\{{\frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})\right\}.}$

Если, переходя к функции ${\displaystyle \ F}$ от ${\displaystyle \ k}$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки ${\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{k}^{0})}$ рассматривать её ${\displaystyle \ k}$ -мерную шаровую окрестность ${\displaystyle \ Q_{r}}$ радиуса ${\displaystyle \ r}$ и разность между средним арифметическим

${\displaystyle \ {\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}Fd\sigma }$

функции ${\displaystyle \ F}$ на границе ${\displaystyle \ S_{r}}$ такой окрестности с площадью границы ${\displaystyle \ \sigma (S_{r})}$ и значением ${\displaystyle \ F(M_{0})}$ в центре этой окрестности ${\displaystyle \ M_{0}}$, то в случае непрерывности вторых частных производных функции ${\displaystyle \ F}$ в окрестности точки ${\displaystyle \ M_{0}}$ значение лапласиана ${\displaystyle \ \Delta F}$ в этой точке есть предел

${\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2k}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}F(M)d\sigma -F(M_{0})\right\}.}$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции ${\displaystyle \ F}$, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

${\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2(k+2)}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\omega (Q_{r})}}\int \limits _{Q_{r}}F(M)d\omega -F(M_{0})\right\},}$ где ${\displaystyle \ \omega (Q_{r})}$ — объём окрестности ${\displaystyle \ Q_{r}.}$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в^[5].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции ${\displaystyle \ F.}$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве ${\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3}}$:

${\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}$

где ${\displaystyle H_{i}\ }$ — коэффициенты Ламе.

В цилиндрических координатах вне прямой ${\displaystyle \ r=0}$:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$

или

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}$

В случае если ${\displaystyle \ f=f(r)}$ в n-мерном пространстве:

${\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}$

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}$

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

${\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.}$

Пусть на гладком многообразии ${\displaystyle X}$ задана локальная система координат и ${\displaystyle g_{ij}}$ — риманов метрический тензор на ${\displaystyle X}$, то есть метрика имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$ .

Обозначим через ${\displaystyle g^{ij}}$ элементы матрицы ${\displaystyle (g_{ij})^{-1}}$ и

${\displaystyle g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}}$.

Дивергенция векторного поля ${\displaystyle F}$, заданного координатами ${\displaystyle F^{i}}$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка ${\displaystyle \sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$) на многообразии X вычисляется по формуле

${\displaystyle \operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})}$,

а компоненты градиента функции f — по формуле

${\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.}$

Оператор Лапласа — Бельтрами на ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.}$

Значение ${\displaystyle \Delta f}$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

• Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений. Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.