Тетраэдральное число

Общая формула для ${\displaystyle n}$-го тетраэдрального числа:

${\displaystyle \Delta _{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle \Delta _{n}=C_{n+2}^{3}={\binom {n+2}{3}}.}$

Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:

${\displaystyle \Delta _{1}=1^{2}=1}$,

${\displaystyle \Delta _{2}=2^{2}=4}$,

${\displaystyle \Delta _{48}=140^{2}=19600}$.

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

${\displaystyle \Delta _{1}=T_{1}=1}$,

${\displaystyle \Delta _{3}=T_{4}=10}$,

${\displaystyle \Delta _{6}=T_{15}=120}$,

${\displaystyle \Delta _{20}=T_{55}=1540}$,

${\displaystyle \Delta _{34}=T_{119}=7140}$,

Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.

Можно заметить, что:

${\displaystyle \Delta _{5}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\Delta _{4}}$

Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\Delta _{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}.}$

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов^[1][2].

Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в ${\displaystyle d}$-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными^[3]:

${\displaystyle S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!}}={\frac {\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)}{d!}}.}$.

Их частным случаем выступают:

• ${\displaystyle S_{n}^{[2]}}$ — треугольные числа.
• ${\displaystyle S_{n}^{[3]}}$ — тетраэдральные числа.
• ${\displaystyle S_{n}^{[4]}}$ — пентатопные числа.