Отрицательное биномиальное распределение

Пусть ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

${\displaystyle X_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i\in \mathbb {N} .}$

Построим случайную величину ${\displaystyle Y}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle k+r}$ — номер ${\displaystyle r}$-го успеха в этой последовательности. Тогда ${\displaystyle Y=k}$. Более строго, положим ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}}$. Тогда

${\displaystyle Y=\inf\{n\mid S_{n}=r\}-r}$.

Распределение случайной величины ${\displaystyle Y}$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: ${\displaystyle Y\sim \mathrm {NB} (r,p)}$.

Функция вероятности случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид:

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=k)={\binom {k+r-1}{k}}\,p^{r}q^{k},\;k=0,1,2,\ldots }$.

Функция распределения ${\displaystyle Y}$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

${\displaystyle F_{Y}(k)=I_{p}(r,k+1)}$.

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{r}}$,

откуда

${\displaystyle \mathbb {E} [Y]={\frac {rq}{p}}}$

${\displaystyle \mathrm {D} [Y]={\frac {rq}{p^{2}}}}$

Пусть ${\displaystyle Y_{i}\sim NB(r_{i},p)}$, тогда ${\displaystyle \sum _{i}Y_{i}\sim NB\left(\sum _{i}r_{i},p\right)}$

• При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
• Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна ^[1].
• При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
• При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) ^[1].