Чевиана

Длина чевианы выражается через элементы треугольника по теореме Стюарта^[8]. Пусть чевиана d, проведённая из вершины A к стороне a = BC, делит её на отрезки m = BD (прилежащий к стороне c) и n = DC (прилежащий к стороне b), a = m + n. Тогда

${\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)}$,

${\displaystyle d^{2}={\frac {b^{2}m+c^{2}n}{a}}-mn}$.

В терминах отношения k = BD/DC (тогда m = ka/(k+1), n = a/(k+1)):

${\displaystyle d^{2}={\frac {kb^{2}+c^{2}}{k+1}}-{\frac {ka^{2}}{(k+1)^{2}}}}$.

Для точки P с трилинейными координатами (α : β : γ) длины трёх чевиан, проведённых через P, равны^[9]

${\displaystyle d_{a}={\frac {\sqrt {bc\,{\bigl [}\,bc(\beta ^{2}+\gamma ^{2})+(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\beta \gamma \,{\bigr ]}}}{b\beta +c\gamma }}}$

и аналогично (циклической заменой) для d_b и d_c. (Заметим, что выражение −a² + b² + c² равно 2bc cos A, что связывает формулу с теоремой косинусов)^[10].

Если чевиана является медианой, то есть делит сторону пополам (m = n = a/2), то из теоремы Стюарта

${\displaystyle m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$, то есть ${\displaystyle 2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$,

откуда

${\displaystyle d={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}}$.

Если чевиана является биссектрисой, то по теореме о биссектрисе она делит сторону в отношении прилежащих сторон: BD : DC = AB : AC = c : b. Её длина удовлетворяет соотношениям^[11]

${\displaystyle (b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$,

откуда

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$,

где s = (a+b+c)/2 — полупериметр.

Если чевиана является высотой, то есть перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет равенствам

${\displaystyle d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

и, по формуле Герона, связана с площадью S треугольника:

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}={\frac {2S}{a}}}$.

Две чевианы, проведённые из одной вершины, называются изогональными, если они симметричны относительно биссектрисы этого угла треугольника. Если чевианы AD и AD′ изогональны, то

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {BD'}{D'C}}=\left({\frac {c}{b}}\right)^{2}}$

— теорема об изогональных чевианах. Отсюда, в частности, следует, что чевиана, изогональная медиане (BD/DC = 1), делит сторону в отношении c² : b² — это симедиана; три симедианы пересекаются в точке Лемуана X(6).

Если три чевианы, идущие из вершин через точку P, заменить изогональными им, то новые три чевианы также пересекаются в одной точке P′ — изогонально сопряжённой точке P (в трилинейных координатах изогональное сопряжение — это переход (x:y:z) → (1/x : 1/y : 1/z)). Так, точке Лемуана изогонально сопряжён центроид, точкам Ферма — изодинамические точки^[17].

Две чевианы, проведённые из одной вершины, называются изотомическими, если их основания симметричны относительно середины стороны. Если чевианы AD и AD′ изотомичны, то выполняется соотношение:

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {BD'}{D'C}}=1}$

Если три чевианы, идущие из вершин через точку P, заменить изотомическими им, то новые три чевианы также пересекаются в одной точке P* — изотомически сопряжённой точке P. В барицентрических координатах (x : y : z) изотомическое сопряжение^[18] имеет особенно простой вид: (x : y : z) → (1/x : 1/y : 1/z). Классический пример: изотомически сопряжённой точкой для точки Жергонна является точка Нагеля, а центроид изотомически сопряжён сам себе.

Делители периметра (сплиттеры, англ. splitters) — чевианы, делящие периметр треугольника пополам: если основание D чевианы AD лежит на BC, то AB + BD = DC + CA = s^[21]. Три делителя периметра пересекаются в точке Нагеля треугольника; ими служат чевианы, проведённые к точкам касания вневписанных окружностей со сторонами (на стороне BC такая точка делит её на отрезки s − c и s − b). Не путать сплиттеры с клеверсами (англ. cleavers) — отрезками, выходящими из середин сторон параллельно биссектрисам противоположных углов; клеверсы также делят периметр пополам, и три клеверса пересекаются в центре Шпикера.

Чевиана делит площадь треугольника пополам тогда и только тогда, когда она является медианой (поскольку треугольники с общей высотой равновелики лишь при равенстве оснований). Следовательно, единственные три конкурентные чевианы, делящие площадь пополам, — это медианы треугольника.

Трисектрисой называется чевиана (или её продолжение), делящая угол треугольника на три равные части; из каждой вершины выходят две трисектрисы. Шесть трисектрис пересекаются попарно; смежные трисектрисы (ближайшие к каждой из сторон) образуют при попарном пересечении правильный треугольник Морли — один из самых неожиданных фактов элементарной геометрии. Длина стороны треугольника Морли выражается через радиус R описанной окружности исходного треугольника:

${\displaystyle t=8R\,\sin {\tfrac {A}{3}}\,\sin {\tfrac {B}{3}}\,\sin {\tfrac {C}{3}}}$.

Чевианы, проходящие через внутреннюю точку O, делят треугольник на шесть малых треугольников, площади которых связаны простыми отношениями:

${\displaystyle {\frac {S_{AOB}}{S_{AOC}}}={\frac {BD}{DC}},\qquad {\frac {S_{AOB}}{S_{BOC}}}={\frac {AE}{EC}},\qquad {\frac {S_{AOC}}{S_{BOC}}}={\frac {AF}{FB}}}$,

то есть барицентрические координаты точки O пропорциональны площадям S_OBC : S_OCA : S_OAB. Кроме того, OD/AD = S_OBC/S_ABC, что мгновенно даёт первое тождество Жергонна.

Если три чевианы неконкурентны, они попарно пересекаются и образуют треугольник Рауса. Теорема Рауса утверждает: если x = BD/DC, y = CE/EA, z = AF/FB, то отношение площади треугольника Рауса к площади исходного треугольника равно^[22]

${\displaystyle {\frac {S_{PKR}}{S_{ABC}}}={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+x+1)(yz+y+1)(zx+z+1)}}}$.

При xyz = 1 формула даёт нуль — это в точности условие конкурентности из теоремы Чевы. Знаменитый частный случай — три чевианы, делящие стороны в отношении 2 : 1 (x = y = z = 2): площадь внутреннего треугольника равна ровно 1/7 площади исходного. Этот частный случай часто называют «треугольником одной седьмой», или «треугольником Фейнмана», так как он был любимым примером Ричарда Фейнмана и часто встречается в занимательной математике.

Для прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5 (a = 5 — гипотенуза, b = 3, c = 4, s = 6, площадь S = 6):

• медиана к гипотенузе: d = ½√(2·3² + 2·4² − 5²) = ½√25 = 2,5 — половина гипотенузы, как и положено медиане прямоугольного треугольника; медиана к катету 3: ½√73 ≈ 4,272;
• биссектриса прямого угла: d = 2√(3·4·6·1)/7 = 12√2/7 ≈ 2,424;
• высота к гипотенузе: d = 2S/a = 12/5 = 2,4.

В том же треугольнике (a = 5, b = 3, c = 4) найдём чевиану, делящую гипотенузу в отношении BD : DC = 1 : 2 (m = 5/3, n = 10/3):

d² = (b²m + c²n)/a − mn = (9·5/3 + 16·10/3)/5 − 50/9 = 41/3 − 50/9 = 73/9,

откуда d = √73/3 ≈ 2,848.

Для биссектрис BD/DC = c/b, CE/EA = a/c, AF/FB = b/a, и произведение равно (c/b)·(a/c)·(b/a) = 1 — биссектрисы конкурентны. Для чевиан Нагеля (к точкам касания вневписанных окружностей) отношения суть (s−c)/(s−b), (s−a)/(s−c), (s−b)/(s−a), и их произведение равно 1 — чевианы пересекаются в точке Нагеля.

Пусть BD : DC = 2 : 1 и CE : EA = 3 : 2; по теореме Чевы AF/FB = (DC/BD)·(EA/CE) = ½ · ⅔ = 1/3, и чевианы конкурентны. По теореме Ван Обеля

AO/OD = AF/FB + AE/EC = 1/3 + 2/3 = 1,

то есть точка пересечения делит чевиану AD пополам.

При x = y = z = 2 (каждая сторона делится в отношении 2 : 1)

S_Раус/S_ABC = (2·2·2 − 1)²/(4 + 2 + 1)³ = 49/343 = 1/7 — классический «треугольник одной седьмой».

При x = y = z = 3 аналогично (27 − 1)²/(9 + 3 + 1)³ = 676/2197 = 4/13 ≈ 0,308. При xyz = 1 внутренний треугольник вырождается в точку — это в точности условие конкурентности теоремы Чевы.

Для треугольника с углами 60°, 90°, 30° и радиусом описанной окружности R = 1

t = 8·sin 20°·sin 30°·sin 10° ≈ 8·0,3420·0,5·0,1736 ≈ 0,2376.

В треугольнике 3—4—5 (b = 3, c = 4) симедиана из вершины A делит гипотенузу в отношении c² : b² = 16 : 9 (тогда как медиана — в отношении 1 : 1, а биссектриса — 4 : 3).

В равнобедренном треугольнике (b = c) произведение отношений для изогональной пары равно (c/b)² = 1, то есть изогональные чевианы делят противоположную сторону во взаимно обратных отношениях: если BD/DC = 2, то BD′/D′C = ½. То же самое верно и для изотомических чевиан по определению.

Пусть чевианы AD, BE, CF пересекаются в точке O. Докажите, что (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB) = 1.

Решение. Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту из вершины A, поэтому S_ABD/S_ACD = BD/DC; треугольники OBD и OCD — общую высоту из O, поэтому S_OBD/S_OCD = BD/DC. Вычитая, получаем S_AOB/S_AOC = BD/DC. Аналогично S_BOC/S_AOB = CE/EA и S_AOC/S_BOC = AF/FB. Перемножение трёх равенств даёт искомое. □

Докажите, что для точки O пересечения чевиан AD, BE, CF выполняется OD/AD + OE/BE + OF/CF = 1.

Решение. Треугольники OBC и ABC имеют общее основание BC, поэтому S_OBC/S_ABC равно отношению их высот, то есть OD/AD. Сумма S_OBC + S_OCA + S_OAB равна S_ABC, и после деления на S_ABC получаем искомое тождество. □

Докажите, что чевианы, проведённые к точкам касания вневписанных окружностей со сторонами, конкурентны.

Решение. Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны BC (и продолжений двух других сторон), делит её на отрезки BD = s − c и DC = s − b (это следует из равенства касательных, проведённых из одной точки). Тогда произведение трёх отношений равно

${\displaystyle {\frac {s-c}{s-b}}\cdot {\frac {s-a}{s-c}}\cdot {\frac {s-b}{s-a}}=1}$,

и конкурентность следует из теоремы Чевы. □