Точки Наполеона

Изучение конфигурации из равносторонних треугольников, построенных на сторонах произвольного треугольника, берёт начало в английских математических альманахах XVIII — первой половины XIX века. «Зародыш» будущего утверждения содержится в задаче Томаса Мосса, опубликованной в 1754 году в ежегоднике The Ladies' Diary, о наибольшем правильном треугольнике, описанном около данного, и её решении, предложенном Уильямом Бевилом в 1755 году^[5].

В октябре 1820 года задача, математически равносильная теореме Наполеона, предлагалась на экзамене в Тринити-колледже Дублинского университета соискателям золотой медали по геометрии; материалы этого экзамена впоследствии были опубликованы в сборнике Dublin Examination Papers (1823)^[6]. Наконец, в 1825 году на стр. 47 ежегодника The Ladies' Diary появилась задача № 1439, предложенная У. Резерфордом (W. Rutherford) из Вудбёрна^[7]:

Решения задачи были напечатаны в выпуске 1826 года^[8]. Примечательно, что ни в условии задачи, ни в её решениях имя Наполеона не упоминается. Более того, само существование точек Наполеона как центров перспективности исходного треугольника и треугольников, образованных центроидами, в этих публикациях явно не отмечалось: осознание этого факта стало возможным лишь позже, с оформлением общей теории чевиан и систематическим изучением замечательных точек.

В середине XX века миф об авторстве Наполеона начал подвергаться критике. Г. Коксетер и С. Грейтцер в книге Geometry Revisited (1967) отмечали, что, хотя Наполеон Бонапарт «был немного математиком» и живо интересовался геометрией, маловероятно, что он обладал достаточной эрудицией для открытия этой теоремы^[9]. Позже историк математики Говард Эвес высказал предположение, что автором теоремы мог быть Лоренцо Маскерони — друг и научный советник Наполеона, который мог позволить императору приписать открытие себе^[10]. В популярной литературе также часто приводится апокрифический диалог: якобы после беседы Наполеона о геометрии Пьер-Симон Лаплас заметил: «Мы ждали от вас всего, генерал, только не урока геометрии». Однако документальных подтверждений этому диалогу не существует.

Долгое время первым известным упоминанием имени Наполеона в связи с этой теоремой в печатном виде считалось 17-е издание учебника Elementi di geometria (1911) итальянского математика Аурелиано Файфофера. В нём соответствующее упражнение сопровождалось ремаркой: «Teorema proposto per la dimostrazione da Napoleone a Lagrange» («Теорема, предложенная для доказательства Наполеоном Лагранжу»)^[11].

Однако, как установил Б. Грюнбаум, имя Наполеона в данном геометрическом контексте встречается значительно раньше — в девятом томе Chambers’s Encyclopaedia (1867), в статье о треугольнике^[12]. В 1926 году итальянские математики Л. Кампеделли и Г. Гобессо утверждали, что Наполеон действительно изложил эту теорему Жозефу-Луи Лагранжу, но архивных свидетельств этому обнаружено не было.

Систематическое историографическое исследование этого вопроса предпринял немецкий историк математики Кристоф Скриба в статье «Wie kommt „Napoleons Satz“ zu seinem Namen?» («Откуда „теорема Наполеона“ получила своё имя?», 1981)^[13]. Дополнительную информацию и окончательные уточнения опубликовал Бранко Грюнбаум в 2012 году^[14]. Общий консенсус современных историков науки таков: документальных подтверждений причастности Наполеона Бонапарта к открытию как самой теоремы, так и одноимённых точек не существует; название является результатом посмертной романтической атрибуции.

Современное математическое осмысление конфигурации началось во второй половине XIX века. В 1868 году Эмиль Лемуан предложил задачу о восстановлении треугольника по вершинам равносторонних треугольников, построенных на его сторонах. Решение опубликовал в 1869 году немецкий математик Людвиг Киперт (1846—1934). В этом решении фактически содержалось первое определение гиперболы Киперта как геометрического места точек N(θ), охватывающего как точки Наполеона, так и точки Ферма. Детальное исследование коник Киперта и их истории было выполнено Р. Эдди и Р. Фричем в 1994 году^[15].

В XX веке в терминологии возникла определённая путаница. Дж. Ригби (1988) отметил, что в части старой литературы название «точки Наполеона» закреплялось за другой парой центров — изодинамическими точками, что было связано с их схожими построениями^[16]. Эта двусмысленность была окончательно устранена с созданием Кларком Кимберлингом «Энциклопедии центров треугольника» (ETC). В этом авторитетном каталоге (издаётся с 1998 года) за внешней и внутренней точками Наполеона однозначно закреплены номера X(17) и X(18) соответственно^[17].

Пусть ABC — произвольный треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB построим внешним образом правильные треугольники DBC, ECA и FAB соответственно; пусть X, Y, Z — их центроиды. Тогда прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке. Эта точка N₁ называется первой, или внешней, точкой Наполеона треугольника ABC.

Треугольник XYZ называется внешним треугольником Наполеона; согласно теореме Наполеона он является правильным^[18]. Таким образом, первая точка Наполеона — это центр перспективности исходного треугольника и его внешнего треугольника Наполеона.

В Энциклопедии центров треугольника первая точка Наполеона обозначается X(17)^[19].

Если на сторонах BC, CA, AB построить правильные треугольники DBC, ECA, FAB внутренним образом (то есть с вершинами D, E, F внутри исходного треугольника) и снова соединить их центроиды X, Y, Z с противоположными вершинами, то прямые AX, BY и CZ также пересекаются в одной точке N₂ — второй, или внутренней, точке Наполеона.

Треугольник XYZ при этом называется внутренним треугольником Наполеона; по теореме Наполеона он также правильный. В Энциклопедии центров треугольника вторая точка Наполеона обозначается X(18)^[20].

Прямую, проходящую через обе точки Наполеона, называют прямой Наполеона треугольника. Она пересекается с прямой Ферма (прямой, соединяющей две точки Ферма) в точке Лемуана — точке пересечения симедиан треугольника, обозначаемой X(6) в Энциклопедии центров треугольника. Центроид треугольника, вообще говоря, на прямой Наполеона не лежит.

С точками Наполеона тесно связаны точки Ферма — Торричелли X(13) и X(14). Если вместо прямых, соединяющих центроиды построенных правильных треугольников с вершинами исходного треугольника, провести прямые, соединяющие вершины D, E, F этих треугольников с соответствующими вершинами исходного (AD, BE, CF), то три такие прямые также пересекутся в одной точке: для внешних правильных треугольников — в первой точке Ферма F₁, для внутренних — во второй F₂.

Описанные окружности трёх внешних правильных треугольников проходят через первую точку Ферма, а внутренних — через вторую. Отсюда, в частности, следует классическое свойство:

∠AF₁B = ∠BF₁C = ∠CF₁A = 120°.

Например, точки B, C, D, F₁ лежат на одной окружности (окружности треугольника DBC), поэтому противоположные углы четырёхугольника BDF₁C в сумме дают 180°, а ∠BDC = 60°.

Первая точка Ферма решает классическую задачу Ферма — Торричелли о минимизации суммы расстояний до вершин треугольника; точки Наполеона получаются из той же конфигурации заменой вершин D, E, F на центроиды.

Как отмечено выше, прямая Наполеона N₁N₂ и прямая Ферма F₁F₂ пересекаются в точке Лемуана X(6) — точке пересечения симедиан. Это одно из наиболее часто цитируемых свойств пары «Наполеон — Ферма»; обе прямые целиком лежат в «кипертовской» конфигурации треугольника^[22].

Основная статья — Гипербола Киперта.

Обе точки Наполеона лежат на гиперболе Киперта — единственном коническом сечении, проходящем через вершины A, B, C, центроид G и ортоцентр H треугольника. Эта гипербола:

• является равнобочной (прямоугольной) гиперболой;
• представляет собой изогональный образ оси Брокара — прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана;
• содержит, помимо вершин, центроида и ортоцентра, точки X(13), X(14), X(17), X(18), X(485), X(486), центр Шпикера X(10) и третью точку Брокара X(76)^[23];
• имеет центр в точке X(115) Энциклопедии центров треугольника; этот центр является серединой отрезка между точками Ферма, а также серединой отрезка N₁N₂ между двумя точками Наполеона, и лежит на окружности девяти точек.

Гипербола Киперта была открыта Людвигом Кипертом в 1869 году при исследовании задачи, предложенной Эмилем Лемуаном: «построить треугольник по вершинам равносторонних треугольников, построенных на его сторонах»^[24].

Существование точек Наполеона и правильность треугольника Наполеона доказываются с помощью комплексных чисел. Если сопоставить вершинам A, B, C комплексные числа ${\displaystyle z_{A},z_{B},z_{C}}$, а повороту на 60° против часовой стрелки — умножение на ${\displaystyle \omega =e^{i\pi /3}}$ (где ${\displaystyle \omega ^{2}-\omega +1=0}$), то вершину внешнего правильного треугольника на стороне BC можно выразить как ${\displaystyle z_{D}=z_{B}+(z_{C}-z_{B})\omega }$.

Центроид X этого треугольника равен ${\displaystyle (z_{B}+z_{C}+z_{D})/3}$. Алгебраическая проверка условия равносторонности треугольника центроидов ${\displaystyle z_{X}+z_{Y}\omega +z_{Z}\omega ^{2}=0}$ сводится к тождественному нулю после подстановки выражений, что одновременно доказывает как теорему Наполеона, так и конкурентность прямых (поскольку для правильного треугольника условие суммы с весами ${\displaystyle \omega }$ эквивалентно пересечению чевиан в одной точке).

Согласно обратной теореме, исследованной Дж. Уэтзелом (J. E. Wetzel, 1992), если на сторонах произвольного треугольника построить подобные и одинаково ориентированные треугольники так, что треугольник, образованный их центроидами, является правильным, то и исходные построенные треугольники также обязаны быть правильными^[27]. Это утверждение подчёркивает уникальность конфигурации Наполеона: она является не только достаточным, но и необходимым условием для возникновения правильного треугольника из центроидов при условии подобия надстроек.

Центроиды правильных треугольников, используемые при определении точек Наполеона, можно рассматривать как вершины равнобедренных треугольников с углом при основании π/6. Естественное обобщение — надстройка равнобедренных треугольников с произвольным углом при основании.

Если на сторонах треугольника ABC построены наружу (или все внутрь) подобные равнобедренные треугольники X′BC, Y′CA и Z′AB с общим углом при основании θ, то прямые AX, BY и CZ (где X, Y, Z — центроиды этих треугольников) пересекаются в одной точке N(θ).

Точка N(θ) называется точкой Киперта треугольника. Её трилинейные координаты:

${\displaystyle N(\theta )={\bigl (}\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ){\bigr )}}$,

а трилинейные координаты вершин надстроенных треугольников суть

${\displaystyle X'\,{\bigl (}-\sin \theta ,\ \sin(C+\theta ),\ \sin(B+\theta ){\bigr )},\quad Y'\,{\bigl (}\sin(C+\theta ),\ -\sin \theta ,\ \sin(A+\theta ){\bigr )},\quad Z'\,{\bigl (}\sin(B+\theta ),\ \sin(A+\theta ),\ -\sin \theta {\bigr )}}$

(отрицательная координата отвечает положению вершины по другую сторону соответствующей стороны).

Угол при основании θ	Точка N(θ)
0	центроид G, X(2)
π/2 (или −π/2)	ортоцентр H, X(4)
${\displaystyle \operatorname {arctg} {\bigl [}\operatorname {tg} {\tfrac {A}{2}}\cdot \operatorname {tg} {\tfrac {B}{2}}\cdot \operatorname {tg} {\tfrac {C}{2}}{\bigr ]}}$	центр Шпикера, X(10)
π/4	внешняя точка Вектена, X(485)
−π/4	внутренняя точка Вектена, X(486)
π/6	N1, первая точка Наполеона, X(17)
−π/6	N2, вторая точка Наполеона, X(18)
π/3	F1, первая точка Ферма, X(13)
−π/3	F2, вторая точка Ферма, X(14)
−A (при A < π/2) или π − A (при A > π/2)	вершина A
−B (при B < π/2) или π − B (при B > π/2)	вершина B
−C (при C < π/2) или π − C (при C > π/2)	вершина C

При изменении θ в пределах от −π/2 до π/2 точка N(θ) описывает геометрическое место точек — гиперболу Киперта, задаваемую в трилинейных координатах уравнением

${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0}$.

В частности, на этой гиперболе лежат все точки из таблицы выше^[28].

Замечание. Особо выделяется значение θ = arctg[tg(A/2)·tg(B/2)·tg(C/2)], при котором точка Киперта совпадает с центром Шпикера X(10) — центром вписанной окружности серединного треугольника; этот факт установлен Р. Эдди и Р. Фричем^[29].

Чтобы прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке, надстроенные треугольники не обязаны быть равнобедренными.

Если на сторонах произвольного треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники X′BC, AY′C и ABZ′ (с указанным порядком вершин, то есть с одинаковым циклическим расположением равных углов), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Доказательство этого факта элегантно осуществляется с помощью спирального подобия (композиции поворота и гомотетии), которое переводит одну сторону треугольника в другую, сохраняя конкурентность прямы. Тригонометрическое доказательство дословно повторяет приведённое выше рассуждение с теоремой Чевы: сомножители, содержащие длины боковых сторон надстроенных треугольников, сокращаются в силу их подобия.

Конкурентность сохраняется и при более слабых условиях — достаточно лишь поточечного равенства некоторых углов.

Если треугольники X′BC, Y′CA и Z′AB построены с внешней стороны на сторонах треугольника ABC так, что

∠CBX′ = ∠ABZ′, ∠ACY′ = ∠BCX′, ∠BAZ′ = ∠CAY′,

то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке.

Точка пересечения в этой конфигурации иногда называется точкой Якоби; утверждение тесно связано с классической теоремой Якоби о чевианах.

На случай многоугольников переносится сама теорема Наполеона, а с ней и конфигурация точек. Для четырёхугольника аналогом служит теорема Ван Обеля о квадратах, построенных на сторонах четырёхугольника. Общее утверждение — теорема Наполеона — Барлотти — утверждает, что если на сторонах произвольного n-угольника построены правильные n-угольники (допускаются и звёздчатые), то их центры образуют правильный n-угольник. Наиболее общая форма — теорема Петра — Дугласа — Неймана: последовательное «сглаживание» произвольного n-угольника с помощью надстроек равнобедренных треугольников завершается правильным n-угольником; при n = 3 она равносильна теореме Наполеона. Линейно-алгебраический взгляд на такие обобщения развит Х. Штахелем и Б. Грюнбаумом^[30][31].

Для правильного треугольника все надстроенные правильные треугольники расположены симметрично, прямые AX, BY, CZ являются медианами, и обе точки Наполеона совпадают с центром треугольника: N₁ = N₂ = G. Таблица частных случаев теоремы Киперта согласуется с этим: трилинейные координаты csc(A ± 30°) при A = B = C = 60° дают (1 : 1 : 1) — центр правильного треугольника.

Пусть A = (0; 4), B = (−3; 0), C = (3; 0) (боковые стороны 5, основание 6, площадь 12). Обе точки Наполеона лежат на оси симметрии x = 0, и их декартовы координаты вычисляются точно по формулам трилинейных координат:

N₁ = (0; (288 + 33√3)/227) ≈ (0; 1,5205), N₂ = (0; (288 − 33√3)/227) ≈ (0; 1,0169).

Здесь A = arcsin(24/25) ≈ 73°44′, B = C = arctg(4/3) ≈ 53°08′; подстановка этих значений в csc(A ± 30°) и переход от трилинейных координат к декартовым даёт приведённые выражения.

Для прямоугольного треугольника A = (0; 0), B = (4; 0), C = (0; 3) (A = 90°, B ≈ 36°52′, C ≈ 53°08′, площадь 6) прямое вычисление по построению даёт:

N₁ = ((198 − 48√3)/115; (96 + 6√3)/115) ≈ (0,9988; 0,9252),

N₂ = ((198 + 48√3)/115; (96 − 6√3)/115) ≈ (2,4447; 0,7444).

Площади треугольников Наполеона: S_внеш = 3 + 25√3/12 ≈ 6,608 и S_внутр = 25√3/12 − 3 ≈ 0,608; их разность равна 6 — площади исходного треугольника, как и утверждает общая формула.

При θ = π/4 равнобедренные треугольники Киперта вырождаются в половины квадратов, построенных на сторонах, а точка Киперта — во внешнюю точку Вектена X(485): прямые, соединяющие вершины треугольника с центрами квадратов, построенных на противоположных сторонах, конкурентны. Построение квадратов с внутренней стороны даёт внутреннюю точку Вектена X(486).

Докажите, что внешний и внутренний треугольники Наполеона имеют общий центроид, совпадающий с центроидом G исходного треугольника.

Решение. Пусть D_о, E_о, F_о — вершины внешних правильных треугольников, X, Y, Z — их центроиды; тогда X = (D_о + B + C)/3 и т. д. (векторные равенства). Вершина внешнего правильного треугольника на стороне PQ выражается формулой (P + Q)/2 + (√3/2)·R(Q − P), где R — поворот на 90°. Складывая выражения для X + Y + Z, получаем

X + Y + Z = ⅓·(2(A + B + C) + (D_о + E_о + F_о)) = ⅓·(2(A + B + C) + (A + B + C) + (√3/2)·R((C − B) + (A − C) + (B − A))) = A + B + C,

поскольку сумма поворачиваемых векторов равна нулю. Значит, центроид (X + Y + Z)/3 треугольника XYZ равен (A + B + C)/3 = G. Для внутреннего треугольника Наполеона рассуждение дословно то же (меняется лишь знак перед поворотом, а слагаемые по-прежнему сокращаются).

Докажите, что для первой точки Ферма F₁ выполняется ∠BF₁C = 120°.

Решение. Точка F₁ лежит на описанной окружности правильного треугольника DBC, то есть четырёхугольник BDF₁C вписан в окружность. Вписанный четырёхугольник имеет равные нулю суммы противоположных углов: ∠BF₁C + ∠BDC = 180°. Поскольку ∠BDC = 60° (угол правильного треугольника), получаем ∠BF₁C = 120°. Аналогично для остальных пар вершин.

Пользуясь формулами для сторон треугольников Наполеона, покажите, что S_внеш − S_внутр = S.

Решение. Стороны треугольников Наполеона равны ${\displaystyle {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 4{\sqrt {3}}S)/6}}}$, поэтому их площади равны (√3/24)(a² + b² + c² ± 4√3S), и разность площадей составляет (√3/24)·8√3S = S.