Точка Лемуана

Точка Лемуана
Точка Лемуана
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(6)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	центроид
Изотомически сопряженная	третья точка Брокара

Точка Лемуана
Точка Лемуана
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(6)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	центроид
Изотомически сопряженная	третья точка Брокара

То́чка Лемуа́на (точка пересече́ния симедиа́н, то есть прямых, симметричных медианам относительно биссектрис соответствующих углов; точка Гребе́; обозначается $K$ или $L$ ) — одна из замечательных точек треугольника.

Точку Лемуана можно определить тремя равносильными способами:

точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин;
точка пересечения симедиан;
точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами соответствующих им высот.

Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане ^[1].

Доказательство

Иллюстрация ко второму определению точки Лемуана

Пусть $A_{1}$ — точка пересечения касательных в вершинах $B$ и $C$ к описанной окружности, $A_{M}$ — середина стороны $BC$ . Тогда, так как $BC$ — поляра точки $A_{1}$ относительно описанной окружности, а $A_{M}$ — основание перпендикуляра, опущенного на сторону $BC$ из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки $A_{1}$ и $A_{M}$ инверсны относительно окружности. Пусть точка $A_{0}$ — середина дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точки $A$ . Тогда $\angle A_{0}AA_{M}=\angle A_{0}AA_{1}$ , то есть прямая $AA_{1}$ и медиана $AA_{M}$ симметричны относительно биссектрисы $AA_{0}$ . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.

Шестиугольник Лемуана, вписанный в данный опорный треугольник

Шестиугольник Лемуанапредставляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечения сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана лежит внутри исходного треугольника, а его вершины (по две на каждой стороне) лежат на сторонах этого треугольника.

Окружности Лемуана

Лемуан доказал, что если прямые проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения этих прямых со сторонами треугольника лежат на одной окружности^[2]. Эта окружность известна как первая окружность Лемуана. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определённый выше, является вписанным в окружность Лемуана.

Впервые точку Лемуана обнаружил в 1809 году швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье, доказавший, что в этой точке достигается минимум суммы квадратов расстояний до сторон треугольника^[3]. В 1847 году Эрнст Вильгельм Гребе дал построение этой точки, в честь чего в Германии она называлась точкой Гребе^[3]. Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, который в 1873 году опубликовал первое систематическое исследование её свойств, включая доказательство того, что три симедианы пересекаются в одной точке^[3].

Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана^[3].
Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон^[4].
Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
Точка Лемуана является точкой Жергонна тангенциального треугольника^[5].
Точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан^[6].
Точка Лемуана изотомически сопряжена его точке Брокара (третьей, в энциклопедии центров треугольника обозначенной как X(76)).
Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.
Окружность, построенная на отрезке $OK$ ( $O$ — центр описанной окружности) как на диаметре, содержит точки Брокара. Эта окружность называется окружностью Брокара.
Прямая $OK$ называется осью Брокара. Она содержит точки Аполлония и изогонально сопряжена гиперболе Киперта.
Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана^[7].

Две окружности Лемуана

Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (на первой окружности Лемуана). Центром первой окружности Лемуана является середина отрезка, соединяющего центр описанной окружности треугольника с точкой Лемуана^[2].
Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (на второй окружности Лемуана). Точка Лемуана будет её центром^[8].

Координаты

Трилинейные координаты точки Лемуана — $(a:b:c)$ .
Барицентрические — $(a^{2}:b^{2}:c^{2})$ ^[9].

↑ Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2006. — § 13, задача 5.165. — С. 121.
↑ ¹ ² Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 94-96, с. 108—110.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Мякишев А. Г. О некоторых свойствах точки Лемуана // Математическое образование. — 2001. — № 2(17). — С. 51-73.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 87, с. 103.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 65, с. 79-80.
↑ Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНМО, 2000. — С. 5-7.
↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 50.
↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 98, с. 111.
↑ Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНМО, 2000. — С. 7-10.

Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е, перераб.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 152 с.
Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНМО, 2000. — ISBN 5-900916-49-5.
Мякишев А. Г. О некоторых свойствах точки Лемуана // Математическое образование : журн.. — 2001. — № 2(17). — С. 51–73.
Акопян А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е, доп.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-7.

Точка Лемуана

[prasolov2006-1] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2006. — § 13, задача 5.165. — С. 121.

[zetel94-2] ¹ ² Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 94-96, с. 108—110.

[myakishev-3] ¹ ² ³ ⁴ Мякишев А. Г. О некоторых свойствах точки Лемуана // Математическое образование. — 2001. — № 2(17). — С. 51-73.

[zetel87-4] Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 87, с. 103.

[zetel65-5] Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 65, с. 79-80.

[prasolov5-6] Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНМО, 2000. — С. 5-7.

[7] Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 50.

[zetel98-8] Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — § 98, с. 111.

[prasolov7-10-9] Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНМО, 2000. — С. 7-10.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Точка Лемуана

Определение

Шестиугольник Лемуана, вписанный в данный опорный треугольник

Окружности Лемуана

История

Свойства

Две окружности Лемуана

Координаты

Примечания

Литература

Ссылки

Дополнительно по теме

Категории

Точка Лемуана
Барицентрические координаты	$a^{2}:b^{2}:c^{2}$
Трилинейные координаты	$a:b:c$
Код ЭЦТ	X(6)
Связанные точки
Изогонально сопряженная	центроид
Изотомически сопряженная	третья точка Брокара