Теорема Чевы

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle {\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1}$.

Эта теорема является аффинной, то есть она может быть сформулирована с использованием только тех свойств, которые сохраняются при аффинных преобразованиях.

• Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на продолжениях сторон ${\displaystyle BC,CA,AB}$. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ и обозначается ${\displaystyle {XY}/{ZT}}$.
  • Пусть ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на прямых ${\displaystyle BC,CA,AB}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$. Прямые ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда: ${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1}$.

• Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечётным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в^[1]).
• Тригонометрическая теорема Чевы:

  ${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.}$

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть ${\displaystyle \angle XYZ}$ есть угол, на который надо повернуть прямую ${\displaystyle XY}$ против часовой стрелки, чтоб получить прямую ${\displaystyle YZ}$.

Известны доказательства:

• методом площадей;
• с помощью геометрии масс;
• двойное применение теоремы Менелая и многие другие.

Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но существуют также и другие доказательства.