Тела вращения

Образование поверхности вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения

• Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
• Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки:

$S_{bok}=2\pi rh$.

• Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки:

$S_{bok}=\pi rl$.

Площадь полной поверхности конуса:

$S_{poln}=\pi r(r+l)$.

• Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тел вращения

Вращение вокруг оси x

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси $x$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ на интервале $[a;b]$, осью $x$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, равен:

$V_{x}=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)dx$

Вращение вокруг оси y

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси $y$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ на интервале $[a;b]$, осью $x$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, равен:

$V_{y}=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)dx$

Теорема Гульдина

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.

• Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

• Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Литература

А. В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» § 21.Тела вращения. — 2011