Биссектриса

• Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.

• В любом треугольнике ${\displaystyle ABC}$, кроме внутренних биссектрис (далее называемых просто биссектрисами), можно провести и внешние биссектрисы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
• Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$, которые касаются соответственно сторон ${\displaystyle a,b,c}$ исходного треугольника.
• Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
• Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника ${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C}}$
• Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$ , является центром эллипса Мандарта. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).^[2][3]

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

• Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
• Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
• Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.
• Углы, образованные между биссектрисой треугольника и его стороной, к которой проведена данная биссектриса, равны

${\displaystyle \operatorname {arcctg} {\frac {(a-b)(p-c)p}{(a+b)S}},\operatorname {arcctg} {\frac {(b-a)(p-c)p}{(a+b)S}}}$,

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника, ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — его стороны с общей вершиной в той точке, из которой проведена данная биссектриса в треугольнике, ${\displaystyle c}$ — третья сторона, ${\displaystyle p}$ — полупериметр данного треугольника.

• Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
• То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
• В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
• У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
• У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

• Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть ${\displaystyle {\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}}$ или ${\displaystyle {\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}}$. Теорема о биссектрисе  — частный случай теоремы Штейнера.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
• Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
• Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания трёх биссектрис.
• В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах.^[4]

• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
• Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.

• Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарны)^[5]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины.

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
• Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,^[6] причём даже при наличии трисектора.^[7]
• Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника^[8].
• Три продолжения трёх биссектрис исходного треугольника, через три их основания до их пересечения в трёх вершинах его треугольника трёх внешних биссектрис оказываются в последнем треугольнике в качестве трёх высот.

• Каждый кливер есть отрезок, один конец которого находится в середине стороны треугольника и который параллелен биссектрисе угла, противоположного этой стороне. Три кливера, подобных описанному выше, пересекаются в центре Шпикера.
• Если проведен отрезок с одним концом в точке касания вписанной окружности треугольника с его стороной в направлении параллельно биссектрисе угла, противоположного этой стороне, а затем для двух других сторон построены аналогичные отрезки, то эти три отрезка пересекаются в одной точке^[9].

• Во вся­кий треугольник ABC мож­но впи­сать 2 треугольника, 3 сто­ро­ны ко­то­рых па­рал­лель­ны 3 биссектрисам треугольника ABC. Эти треугольники име­ют об­щую окруж­ность типа окружности Эйле­ра, то есть 6 их вершин лежат на 1 окруж­ности.^[10]

Удобно биссектрисы треугольника обозначать следующим образом. Если ${\displaystyle ABC}$ ― треугольник, и ${\displaystyle a=BC}$, ${\displaystyle b=AC}$, ${\displaystyle c=AB}$ ― стороны (длины сторон), то ${\displaystyle l_{a}}$, ${\displaystyle l_{b}}$, ${\displaystyle l_{c}}$ ― биссектрисы, проведённые соответственно из вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ к сторонам ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$.

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

${\displaystyle l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\dfrac {2{\sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}}$, где ${\displaystyle p}$ — полупериметр.

${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l}}}}$ (формула Лагранжа)

${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$

${\displaystyle l_{c}={\dfrac {2a_{l}b_{l}\cos {\dfrac {\gamma }{2}}}{\sqrt {a_{l}^{2}+b_{l}^{2}-2a_{l}b_{l}\cos {(\gamma })}}}}$

${\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}$

Для трёх биссектрис углов ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ с длинами соответственно ${\displaystyle l_{a},l_{b},}$ и ${\displaystyle l_{c}}$, справедлива формула^[11]

${\displaystyle {\dfrac {(b+c)^{2}}{bc}}l_{a}^{2}+{\dfrac {(c+a)^{2}}{ca}}l_{b}^{2}+{\dfrac {(a+b)^{2}}{ab}}l_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}}$,

${\displaystyle w_{c}^{2}=a_{w}\cdot b_{w}-ab=CE^{2}=BE\cdot AE-ab}$,

• Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла ${\displaystyle A}$ в отношении ${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$,

где:

• ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника против вершин ${\displaystyle A,B,C}$ соответственно,
• ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — внутренние углы треугольника при вершинах ${\displaystyle A,B,C}$ соответственно,
• ${\displaystyle h_{c}}$ — высота треугольника, опущенная на сторону ${\displaystyle c}$.
• ${\displaystyle l_{c}}$ — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне ${\displaystyle c}$,
• ${\displaystyle a_{l},b_{l}}$ — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса ${\displaystyle l_{c}}$ делит сторону ${\displaystyle c}$,
• ${\displaystyle w_{c}}$ — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины ${\displaystyle C}$ к продолжению стороны ${\displaystyle AB}$.
• ${\displaystyle a_{w},b_{w}}$ — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса ${\displaystyle w_{c}}$ делит сторону ${\displaystyle c=AB}$ и её продолжение до основания самой биссектрисы.
• Если медиана ${\displaystyle m}$, высота ${\displaystyle h}$ и внутренняя биссектриса ${\displaystyle t}$ выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса ${\displaystyle R}$, тогда^{[12]:p.122,#96}

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно ${\displaystyle l_{c0}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}={\sqrt {ab-4Rr}}}$, где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
• Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
• Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
• Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла ${\displaystyle A}$ в отношении ${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$, где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ — стороны треугольника.

• Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями ${\displaystyle y_{1}=a_{1}x+b_{1}}$ и ${\displaystyle y_{2}=a_{2}x+b_{2}}$, то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций^[13]:

${\displaystyle y={\frac {a_{1}{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm a_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}\,x+{\frac {b_{1}{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm b_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}}$