Кривизна

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат ${\displaystyle Oxy}$. Плоская кривая может быть аналитически задана в одной из следующих форм:

1. В неявном виде ${\displaystyle F(x,y)=0}$.
2. В параметрическом виде ${\displaystyle x=\varphi (t),y=\psi (t)}$.
3. В явном виде ${\displaystyle y=f(x)}$.

1. Неявный способ задания кривой.

Плоской кривой называется множество ${\displaystyle \gamma }$ точек ${\displaystyle M}$ плоскости, координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ которых при подстановке в уравнение ${\displaystyle F(x,y)=0}$ обращают его в тождество.

2. Параметрический способ задания кривой.

Параметризованной плоской кривой называется множество ${\displaystyle \gamma }$ точек ${\displaystyle M}$ плоскости, координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ которых определяются соотношениями ${\displaystyle x=\varphi (t),\quad y=\psi (t),\quad a\leq t\leq b}$, где ${\displaystyle \varphi (t)}$ и ${\displaystyle \psi (t)}$ — непрерывные на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функции.

Одно и то же множество точек на плоскости можно задавать при помощи различных параметрических уравнений. Любую кривую можно параметризовать многими различными способами.

Плоская кривая ${\displaystyle \gamma }$ называется ${\displaystyle n}$-гладкой относительно параметризации ${\displaystyle x=\varphi (t),\quad y=\psi (t),\quad a\leq t\leq b}$, если функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ и ${\displaystyle \psi (t)}$ принадлежат классу ${\displaystyle C^{n}[a,b]}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Если порядок ${\displaystyle n}$ гладкости функций ${\displaystyle \varphi (t)}$, ${\displaystyle \psi (t)}$ несуществен, то говорят просто о гладкой кривой.

Точка ${\displaystyle M_{0}}$ гладкой кривой ${\displaystyle \gamma }$, отвечающая значению ${\displaystyle t_{0}}$ параметра, ${\displaystyle M_{0}=M_{0}(t_{0})}$, в которой ${\displaystyle \varphi ^{\prime }(t_{0})=0,\quad \psi ^{\prime }(t_{0})=0}$, называется особой точкой этой кривой (относительно заданной параметризации). Точка ${\displaystyle M_{0}(t_{0})}$ гладкой кривой ${\displaystyle \gamma }$, в которой ${\displaystyle [\varphi ^{\prime }(t_{0})]^{2}+[\psi ^{\prime }(t_{0})]^{2}>0}$, называется обыкновенной, или регулярной, точкой этой кривой.

Гладкая плоская кривая ${\displaystyle \gamma }$ называется регулярной относительно заданной параметризации, если все её точки являются регулярными, то есть ${\displaystyle [\varphi ^{\prime }(t)]^{2}+[\psi ^{\prime }(t)]^{2}>0}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$.

Пусть ${\displaystyle \gamma }$ — регулярная кривая, заданная параметрически. Пусть также на кривой ${\displaystyle \gamma }$ обозначены точка ${\displaystyle P_{0}}$, отвечающая значению ${\displaystyle t_{0}}$ параметра и ${\displaystyle P}$, отвечающая значению ${\displaystyle t}$ параметра из некоторой окрестности точки ${\displaystyle t_{0}}$. Прямая ${\displaystyle P_{0}T}$ называется касательной регулярной кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle P_{0}}$, если при ${\displaystyle P\to P_{0}}$ наименьший из углов между этой прямой и переменной прямой ${\displaystyle P_{0}P}$ стремится к нулю (см. рисунок). Регулярная кривая имеет касательную в каждой своей точке. Прямая, проходящая через точку ${\displaystyle P_{0}}$ перпендикулярно касательной кривой ${\displaystyle \gamma }$ в этой точке, называется нормалью кривой в точке ${\displaystyle P_{0}}$^[3].

Пространственная кривая может быть аналитически задана в одной из следующих координатных форм.

1. Пересечение двух поверхностей:

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$, ${\displaystyle \Phi (x,y,z)=0}$.

2. Параметрическая форма:

${\displaystyle x=x(t),y=y(t),z=z(t)}$, где ${\displaystyle t}$ — любой параметр, в частности, ${\displaystyle t=x}$, ${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle z}$.

3. Параметрическая форма:

${\displaystyle x=x(s),y=y(s),z=z(s)}$, где ${\displaystyle s}$ — длина дуги от некоторой точки ${\displaystyle M}$ до точки ${\displaystyle M_{0}}$:

${\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}\,dt}$.

4. Векторная форма:

Пространственная кривая может быть задана в векторной форме. Обозначив через ${\displaystyle \mathbf {r} }$ радиус-вектор любой точки кривой, параметрические уравнения можно представить в следующих формах:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$, где ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} }$;

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (s)}$, где ${\displaystyle \mathbf {r} (s)=x(s)\mathbf {i} +y(s)\mathbf {j} +z(s)\mathbf {k} }$^[4].

Понятия гладкой и регулярной пространственной кривой вводятся в полном соответствии с плоским случаем. Для векторной формы кривая ${\displaystyle \gamma }$, заданная векторным уравнением ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t),\quad a\leq t\leq b}$, называется ${\displaystyle n}$-регулярной, если:

1. Векторная функция ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ имеет на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ непрерывные производные порядка ${\displaystyle n}$.
2. Скорость кривой ${\displaystyle |\mathbf {r} '(t)|={\sqrt {[\xi '(t)]^{2}+[\eta '(t)]^{2}+[\zeta '(t)]^{2}}}}$ положительна в каждой точке^[5].

Параметризация кривой, где в качестве параметра взята длина дуги ${\displaystyle s}$, называется естественной параметризацией.

Плоскость, перпендикулярная касательной в данной точке кривой, называется нормальной плоскостью. Все нормали для данной точки лежат в нормальной плоскости. Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью.

Поверхность может быть задана уравнениями в одной из следующих форм:

1. Неявная форма:

${\displaystyle F(x,y,z)=0}$.

2. Явная форма:

${\displaystyle z=f(x,y)}$.

3. Параметрическая форма:

${\displaystyle x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)}$.

4. Векторная форма:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)}$ или ${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=x(u,v)\mathbf {i} +y(u,v)\mathbf {j} +z(u,v)\mathbf {k} }$^[6].

• Пусть ${\displaystyle \gamma }$ — регулярная кривая в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, параметризованная натуральным параметром ${\displaystyle t}$. Пусть далее ${\displaystyle \alpha (P,P')}$ и ${\displaystyle s(P,P')}$ — соответственно угол между касательными к кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P'}$ этой кривой и длина дуги кривой между ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P'}$^[1].

Предел ${\displaystyle k=\lim _{P'\rightarrow P}\alpha (P,P')/s(P,P')}$ называется кривизной кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle P}$.

• Пусть ${\displaystyle P}$ — точка на кривой ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle P'}$ — точка на ${\displaystyle \gamma }$ , близкая к ${\displaystyle P}$. Пусть далее ${\displaystyle \alpha }$ — угол между касательными прямыми в точках ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P'}$, а ${\displaystyle \Delta s}$ —длина дуги ${\displaystyle PP'}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ (см. рисунок).

Отношение величины ${\displaystyle \alpha }$ угла между касательными в точках ${\displaystyle P}$ и  ${\displaystyle P'}$ к длине ${\displaystyle \Delta s}$ дуги ${\displaystyle PP'}$ называют средней кривизной дуги ${\displaystyle PP'}$: ${\displaystyle k_{\text{ср}}={\frac {\alpha }{\Delta s}}}$.

Для дуги окружности средняя кривизна равна обратной величине радиуса этой окружности и, таким образом, наглядно характеризует степень искривлённости окружности — с уменьшением радиуса увеличивается искривлённость дуги.

Предельное значение средней кривизны при стремлении точки ${\displaystyle P'}$ кривой к точке ${\displaystyle P}$, то есть при ${\displaystyle \Delta s\to 0}$, называется кривизной ${\displaystyle k}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle P}$: ${\displaystyle k=\lim _{M^{\prime }\rightarrow M}k_{\text{ср}}=\lim _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\alpha }{\Delta s}}}$.

Кривизна ${\displaystyle k}$ кривой ${\displaystyle \gamma }$ представляет собой функцию длины дуги ${\displaystyle s}$, отсчитываемой от некоторой точки ${\displaystyle P}$ этой кривой. Если для двух плоских кривых ${\displaystyle \gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$ кривизны как функции длины дуги одинаковы, то кривые ${\displaystyle \gamma _{1}}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}}$ конгруэнтны — они могут быть совмещены движением. Поэтому задание кривизны (плоской) кривой как функции длины дуги обычно называется натуральным уравнением этой кривой^[7].

• Если кривая ${\displaystyle \gamma }$ является графиком дважды дифференцируемой функции ${\displaystyle y=f(x)}$, при явном способе задания функции, то кривизна ${\displaystyle k}$ этой кривой вычисляется по формуле^[7]

${\displaystyle k={\frac {|f''|}{(1+f'^{2})^{3/2}}}}$.

Кривая, имеющая всюду кривизну, равную нулю, является либо прямой, либо открытым отрезком прямой. Обратное также верно^[8].

• Если ${\displaystyle x=x(s),\quad y=y(s)}$ — естественная параметризация кривой ${\displaystyle \gamma }$, то её кривизна ${\displaystyle k(s)}$ может быть найдена по формуле

${\displaystyle k(s)=|x^{\prime }(s)y^{\prime \prime }(s)-x^{\prime \prime }(s)y^{\prime }(s)|}$.

• В случае произвольной параметризации ${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$ кривизна ${\displaystyle k(t)}$ находится по формуле

${\displaystyle k(t)={\frac {|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)|}{\left([x^{\prime }(t)]^{2}+[y^{\prime }(t)]^{2}\right)^{3/2}}}}$.

Кривизна плоской кривой по определению неотрицательна. Однако во многих случаях кривизне плоской кривой присваивают знак. Обычно выбор знака связывают с направлением вращения касательной к кривой при перемещении вдоль кривой при возрастании параметра:

• «+»: кривизна кривой положительна, если касательная вращается против часовой стрелки (в положительном направлении);
• «-»: кривизна кривой отрицательна, если касательная вращается по часовой стрелке (в отрицательном направлении).

В этом смысле кривизна явно заданной кривой вычисляется по формуле ${\displaystyle k={\frac {f''}{(1+f'^{2})^{3/2}}}}$^[9].

Знак кривизны зависит от выбора параметризации и не имеет геометрического смысла. Геометрический смысл имеет изменение знака кривизны при переходе через некоторую точку (так называемая точка перегиба) или сохранение знака на некотором участке (характер выпуклости кривой).

Точки перегиба — точки кривой, в которых направление вогнутости меняется на обратное. Кривая в малой части, заключающей эту точку, лежит не по одну сторону от касательной, а пересекает её. В точке перегиба кривизна ${\displaystyle k=0}$, а радиус кривизны ${\displaystyle R=\infty }$^[10].

Окружность радиуса ${\displaystyle R}$, проходящая через точку ${\displaystyle P}$, имеющая в этой точке с кривой общую касательную и лежащая по ту же сторону от этой касательной, что и кривая, называется соприкасающейся окружностью кривой в точке ${\displaystyle P}$, или окружностью кривизны (см. рисунок)^[11].

Точка ${\displaystyle P'}$, двигаясь по плоской кривой ${\displaystyle \gamma }$, стремится к неподвижной точке ${\displaystyle P}$, где кривизна ${\displaystyle k}$ не равна нулю. Тогда точка ${\displaystyle C^{\prime }}$, где неподвижная нормаль ${\displaystyle PN}$ пересекается с нормалью ${\displaystyle P'N'}$, стремится к точке ${\displaystyle C}$, отстоящей от ${\displaystyle P}$ на расстояние ${\displaystyle PC={\frac {1}{k}}}$ (см. рисунок)^[12].

Величина ${\displaystyle R=1/k}$, обратная кривизне кривой ${\displaystyle \gamma }$, называется радиусом кривизны кривой ${\displaystyle \gamma }$ в точке ${\displaystyle P}$.

Чем больше искривлена кривая вблизи данной точки, тем больше ${\displaystyle k}$ и меньше ${\displaystyle R}$ в этой точке. Для окружности с радиусом ${\displaystyle a}$ кривизна ${\displaystyle k={\frac {1}{a}}}$ и радиус кривизны ${\displaystyle R=a}$ постоянны для всех её точек. Для прямой линии: ${\displaystyle k=0}$, ${\displaystyle R=\infty }$. Для прочих кривых кривизна меняется от точки к точке^[13].

Если ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (s)}$ — естественная параметризация кривой ${\displaystyle \gamma }$, то её кривизна ${\displaystyle k_{1}\ }$вычисляется по формуле

${\displaystyle k_{1}(s)=|{}\mathbf {r} ^{\prime \prime }(s)|{}}$, а кручение определяется по формуле ${\displaystyle k_{2}(s)={\frac {(\mathbf {r} ^{\prime }(s),\mathbf {r} ^{\prime \prime }(s),\mathbf {r} ^{\prime \prime \prime }(s))}{\left(\mathbf {r} ^{\prime \prime }(s)\right)^{2}}}}$.

В случае произвольной параметризации ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$ кручение определяется по формуле

${\displaystyle k_{2}(t)={\frac {(\mathbf {r} ^{\prime }(t),\mathbf {r} ^{\prime \prime }(t),\mathbf {r} ^{\prime \prime \prime }(t))}{\left(\mathbf {r} ^{\prime }(t)\times \mathbf {r} ^{\prime \prime }(t)\right)^{2}}}}$.

Для прямой кручение не определено, поскольку неоднозначно определяется соприкасающаяся плоскость. Плоская кривая в каждой точке имеет кручение, равное нулю. Обратно, кривая с тождественно равным нулю кручением — плоская^[15].

Тензор кривизны — это стандартный способ описания кривизны римановых многообразий. В двумерном случае тензор кривизны имеет одну существенную координату, которая входит в определение внутренней (гауссовой) кривизны поверхности.

Это линия поверхности, направление которой в каждой точке совпадает с одним из главных направлений поверхности в этой точке. Линии кривизны образуют, вообще говоря, прямоугольную сеть, то есть покрывают поверхность так, что через каждую точку (за исключением некоторых особых точек округления) проходят две линии кривизны, пересекающиеся под прямым углом. Линии кривизны характеризуются также тем свойством, что нормали к поверхности в точках линии кривизны образуют развёртывающуюся поверхность. Так, на всякой поверхности вращения меридианы и параллели являются линиями кривизны. На плоскости и на сфере любая линия является линией кривизны.