Пирамида (геометрия)

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объём пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит^[3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12^[4]).

• вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания;
• основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды;
• боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине;
• боковые рёбра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);
• высота пирамиды — перпендикуляр из вершины пирамиды на её основание;
• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через её вершину и диагональ основания.

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;
• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

• Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh,}$

где ${\displaystyle \ S}$ — площадь основания и ${\displaystyle \ h}$ — высота^[7];

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}V_{p},}$

где ${\textstyle \ V_{p}}$ — объём параллелепипеда;

• Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле^[8]:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}a_{1}a_{2}d\sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ — скрещивающиеся рёбра , ${\displaystyle d}$ — расстояние между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ , ${\displaystyle \varphi }$ — угол между ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$;

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

${\displaystyle S_{b}=\sum _{i}^{}S_{i}}$;

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

${\displaystyle \ S_{p}=S_{b}+S_{o}}$;

• Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

${\displaystyle S_{b}={\frac {1}{2}}Pa={\frac {n}{2}}b^{2}\sin \alpha }$,

где ${\displaystyle a}$ — апофема , ${\displaystyle \ P}$ — периметр основания, ${\displaystyle \ n}$ — число сторон основания, ${\displaystyle \ b}$ — боковое ребро, ${\displaystyle \alpha }$ — плоский угол при вершине пирамиды.