Теорема о проекциях

Теорема о проекциях гласит, что любая сторона треугольника равна сумме произведений двух других сторон на косинусы углов, которые они образуют с этой стороной^[1].

Выглядит следующим образом:

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }$

или в других обозначениях:

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.}$

Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины ${\displaystyle C}$, делит противоположную ей сторону ${\displaystyle c}$ на две части ${\displaystyle a\cos \beta }$ и ${\displaystyle b\cos \alpha }$, считая от вершины ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B}$.

Каждое слагаемое в правой части уравнений — длина ортогональной проекции одной стороны треугольника на другую. Если мы опустим высоту из вершины треугольника на противоположную сторону, эта высота разделит сторону на два отрезка. Эти отрезки и есть проекции.

Рассмотрим уравнение ${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha }$:

• сторона ${\displaystyle c}$ — основание, на которое мы проецируем две другие стороны;
• ${\displaystyle a\cos \beta }$ — проекция стороны ${\displaystyle a}$ на прямую, содержащую сторону ${\displaystyle c}$. В прямоугольном треугольнике (образованном высотой) косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, отрезок (проекция) равен ${\displaystyle a\cdot \cos \beta }$.
• ${\displaystyle b\cos \alpha }$ — проекция стороны ${\displaystyle b}$ на ту же прямую. Аналогично она равна гипотенузе ${\displaystyle b}$, умноженной на косинус прилежащего угла ${\displaystyle alpha}$.