Неравенство

Перейти к материалам ОГЭ/ЕГЭ

РУВИКИ для ОГЭ/ЕГЭ

Переходите на портал РУВИКИ, где собраны материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ.

К материалам

О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.

Символы со сходным начертанием: 〈 · ‹ · ˂ · く · 〱 · ◌𖿱

Символы со сходным начертанием: 〉 · › · ˃ · ‏ح‍‏‎ · ‏ܓ‏‎

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования

Строгие неравенства

• $a<b$ — означает, что $a$ меньше, чем $b.$
• $a>b$ — означает, что $a$ больше, чем $b.$

Неравенства $a>b$ и $b<a$ равносильны. Говорят, что знаки $>$ и $<$ противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что $<$ заменено на $>$ или наоборот.

Нестрогие неравенства

• $a\leqslant b$ — означает, что $a$ меньше или равно $b.$
• $a\geqslant b$ — означает, что $a$ больше или равно $b.$

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

• $a\neq b$ — означает, что $a$ не равно $b$.
• $a\gg b$ — означает, что величина $a$ намного больше, чем $b.$
• $a\ll b$ — означает, что величина $a$ намного меньше, чем $b.$

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

$a<b<c$ — это краткая запись пары неравенств: $a<b$ и $b<c.$

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных $(x,y,\dots ).$ Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство $18x<414$ — алгебраическое первой степени, неравенство $2x^{3}-7x+6>0$ — алгебраическое третьей степени, неравенство $2^{x}>x+4$ — трансцендентное.

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из $a+b<c$ следует, что $a<c-b.$
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, $a<b$ и $c<d,$ то $a+c<b+d.$ Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

• Транзитивность: если $a<b$ и $b<c,$ то $a<c$ и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Пусть даны функции $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$. Если требуется найти все числа $\alpha$ из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство $f\left(\alpha \right)>g\left(\alpha \right)$, то говорят, что требуется решить неравенство

$f\left(x\right)>g\left(x\right).$

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

$x^{2}<4$ выполняется при $-2<x<2.$

$x^{2}>4$ выполняется, если $x>2$ или $x<-2.$

$x^{2}<-4$ не выполняется никогда (решений нет).

$x^{2}>-4$ выполняется при всех $x$ (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство $x>3$ возвести в квадрат: $x^{2}>9,$ то появится ошибочное решение $x<-3,$ не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: $ax>b$ или $ax<b,$ где $a\neq 0$ (работа со знаками $\geqslant$ и $\leqslant$ аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на $a$ и, если $a<0,$ измените знак неравенства на противоположный. Пример:

$5x-11>8x+1.$ Приведём подобные члены: $-3x>12,$ или $x<-4.$

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы ${\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}$ получаем два решения: для первого неравенства $x<2,$ для второго: $x>{2 \over 3}.$ Соединяя их, получаем ответ: ${2 \over 3}<x<2.$

Пример 2. ${\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}$ Решения: $x<2$ и $x<{2 \over 3}.$ Второе решение поглощает первое, так что ответ: $x<{2 \over 3}.$

Пример 3. ${\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}$ Решения: $x>2$ и $x<{2 \over 3},$ они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

$x^{2}+px+q>0$ или $x^{2}+px+q<0.$

Если квадратное уравнение $x^{2}+px+q=0$ имеет вещественные корни $x_{1},x_{2},$ то неравенство можно привести к виду соответственно:

$(x-x_{1})(x-x_{2})>0$ или $(x-x_{1})(x-x_{2})<0.$

В первом случае $x-x_{1}$ и $x-x_{2}$ должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило.

Квадратный трёхчлен $x^{2}+px+q$ с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения $x^{2}+px+q=0$ вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех $x.$ Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры).

Пример 1. $-2x^{2}+14x-20>0.$ Разделив на $-2,$ приведём неравенство к виду: $x^{2}-7x+10<0.$ Решив квадратное уравнение $x^{2}-7x+10=0,$ получаем корни $x_{1}=2;x_{2}=5,$ поэтому исходное неравенство равносильно такому: $(x-2)(x-5)<0.$ Согласно приведенному выше правилу, $2<x<5,$ что и является ответом.

Пример 2. $-2x^{2}+14x-20<0.$ Аналогично получаем, что $x-2$ и $x-5$ имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, $x<2,$ или $x>5.$

Пример 3. $x^{2}+6x+15>0.$ Уравнение $x^{2}+6x+15=0$ не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех $x.$ При $x=0$ левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех $x$).

Пример 4. $x^{2}+6x+15<0.$ Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах.

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы.

• $a+{1 \over a}\geqslant 2,$ где $a>0.$ Равенство имеет место только при $a=1.$
• ${\sqrt {ab}}\leqslant {a+b \over 2},$ где $a,b>0.$ Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при $a=b.$
• Неравенство о средних
• Неравенство Бернулли:

$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx,$ где $x\geqslant -1,n$ — положительное число, большее 1.

• Неравенство Коши — Буняковского.
• Неравенство Йенсена
• Неравенство треугольника:

$|a+b|\leqslant |a|+|b|$

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

символ	языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal, 1С
~=	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств

Символ	Изображение	Юникод		Русское название	HTML			LaTeX
		Код	Название		Шестнадцатеричное	Десятичное	Мнемоника
<	$<$	U+003C	Less-than sign	Меньше	&#x3C;	&#60;	&lt;	<, \textless
>	$>$	U+003E	Greater-than sign	Больше	&#x3E;	&#62;	&gt;	>, \textgreater
⩽	$\leqslant$	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше или равно	&#x2A7D;	&#10877;	нет	\leqslant
⩾	$\geqslant$	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше или равно	&#x2A7E;	&#10878;	нет	\geqslant
≤	$\leq$	U+2264	Less-than or equal to	Меньше или равно	&#x2264;	&#8804;	&le;	\le, \leq
≥	$\geq$	U+2265	Greater-than or equal to	Больше или равно	&#x2265;	&#8805;	&ge;	\ge, \geq
≪	$\ll$	U+226A	Much less-than	Много меньше	&#x226A;	&#8810;	нет	\ll
≫	$\gg$	U+226B	Much greater-than	Много больше	&#x226B;	&#8811;	нет	\gg

См. также

• Сравнение (программирование)
• Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем
• Рациональные неравенства
• Логарифмические неравенства
• Системы неравенств с одной переменной
• Равносильность неравенств, систем неравенств

Литература

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.