Вписанная окружность

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади ${\displaystyle S}$ к его полупериметру ${\displaystyle p}$:

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}}$

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
• Центр ${\displaystyle I}$ вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
• Радиус ${\displaystyle r}$ вписанной в треугольник окружности равен:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где ${\displaystyle a,b,c}$ — стороны треугольника, ${\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}$ — высоты, проведённые к соответствующим сторонам^[1];

${\displaystyle r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}$

Формула Эйлера

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника, а ${\displaystyle p}$ — его полупериметр.

${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$, ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Если ${\displaystyle AB}$ — основание равнобедренного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, то окружность, касающаяся сторон угла ${\displaystyle \angle ACB}$ в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, проходит через центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Теорема Эйлера: ${\displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}$, где ${\displaystyle R}$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности, ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной в него окружности, ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности, ${\displaystyle I}$ — центр вписанной окружности.
• Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне ${\displaystyle AB}$, пересекает стороны ${\displaystyle BC}$ и ${\displaystyle CA}$ в точках ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}$.
• Если точки касания вписанной в треугольник ${\displaystyle T}$ окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник ${\displaystyle T_{1}}$ со свойствами:
  • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен ${\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}$.
• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно ${\displaystyle d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c}$.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно ${\displaystyle l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}}$ и ${\displaystyle l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}}$
• Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$.

• Лемма Веррьера^[2][3]: пусть окружность ${\displaystyle V}$ касается сторон ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ и дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Тогда точки касания окружности ${\displaystyle V}$ со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ лежат на одной прямой.

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

• Формула Эйлера: Если ${\displaystyle d}$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$ соответственно, то ${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr}$.
• Формулы для отношения и произведения радиусов:

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$^[4]

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$,

${\displaystyle {\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}$

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника, ${\displaystyle S}$ — его площадь.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[5].

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
• Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

• Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.^[6].
• Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

• Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: ${\displaystyle AB+CD=BC+AD}$.

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса^[7] вписанной в сферический треугольник окружности равен^[8]:73-74

${\displaystyle \operatorname {tg} r={\sqrt {\frac {\sin(p-a)\sin(p-b)\sin(p-c)}{\sin p}}}}$

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника^[8]:20-21.

• Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
• Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.