Точка Жергонна
То́чка Жерго́нна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности.
Обычно обозначается , , или .
Общие сведения
| Точка Жергонна | |
|---|---|
| Барицентрические координаты | |
| Трилинейные координаты | |
| Код ЭЦТ | X(7) |
| Связанные точки | |
| Дополнительная | миттенпункт |
Свойства
- Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
- Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
- Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
- Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен
.
- Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен
.
- Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром[1].
- Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[2].
Треугольник Жергонна
Треугольник Жергонна для основного треугольника ABC определяется тремя точками касания вписанной окружности трёх его сторон. Эти вершины обозначим TA, TB и TC. Точка TA лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.
Свойства
- Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
- Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
- Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
- Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.
История
Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 — 4.05.1859) в начале XIX века.
Примечания
Литература
- Тимофеева О. А. Точки Жергонна и Нагеля / О. А. Тимофеева // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. – 2020. – № 10. – С. 166-167.
- Булатова М. О. Точки Нагеля и Жергонна / М. О. Булатова // Молодежь XXI века: образование, наука, инновации : Материалы XII Всероссийской студенческой научно-практической конференции с международным участием, Новосибирск, 01–03 ноября 2023 года. – Новосибирск: Новосибирский государственный педагогический университет, 2024. – С. 327-328.
- Малютина Т. П. Замечательные точки треугольника. Особая точка теоремы Морлея / Т. П. Малютина, Н. С. Леонов, А. С. Шиптенко // Вестник Донбасской национальной академии строительства и архитектуры. – 2021. – № 4(150). – С. 50-56.