Гиперболический треугольник

Треугольник параллельности — частный случай гиперболического треугольника, у которого одна вершина является идеальной точкой, а один из углов при конечной вершине — прямой. Угол при другой конечной вершине называется углом параллельности и является функцией длины противолежащего катета.

Треугольник, в котором две вершины являются идеальными точками, а оставшийся угол является прямым. Это один из первых гиперболических треугольников (1818), который описал Фердинанд Карл Швайкерт.

Треугольник, в котором все вершины являются идеальными точками. Такой треугольник является самым большим из возможных треугольников в геометрии Лобачевского (геометрия Лобачевского — это неевклидова геометрия, в которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по меньшей мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её; с современной точки зрения она является геометрией пространства постоянной отрицательной кривизны^[4].

Если C обозначает прямой угол, то:

• синус угла A равен гиперболическому синусу противоположной углу стороны A, делённому на гиперболический синус гипотенузы c.

${\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,}$

• косинус угла A равен гиперболическому тангенсу прилежащего катета b, делённому на гиперболический тангенс гипотенузы c.

${\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,}$

• тангенс угла A равен гиперболическому тангенсу противоположного катета a, делённого на гиперболический синус прилежащего катета b.

${\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.}$

• гиперболический косинус прилежащего катета b угла A равен косинусу угла B, делённому на синус угла A.

${\displaystyle {\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}.}$

• гиперболический косинус гипотенузы c равен произведению гиперболических косинусов катетов a и b.

${\displaystyle {\textrm {ch(c)}}={\textrm {ch(a)}}{\textrm {ch(b)}}.}$

• гиперболический косинус гипотенузы H равен произведению косинусов углов, делённому на произведение их синусов^[7].

ch(H) ${\displaystyle ={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}$.

Верны следующие равенства^[8]:

${\displaystyle \cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B}$.

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b}}}$.

${\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\operatorname {ctg} B}{\mathrm {ch} \,c}}}$.

${\displaystyle \cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A}$.

${\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}$.

Площадь прямоугольного треугольника равна:

Площадь ${\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$,

а также

${\displaystyle {\textrm {Area}}=2\operatorname {arctg} (\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2}}))}$^[9].

Экземпляр омега-треугольника с прямым углом даёт конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.

В случае, когда угол B = 0, a = c = ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle {\textrm {th}}(\infty )=1}$, получаем ${\displaystyle \cos A={\textrm {th(b)}}.}$ (b = прилежащий катет)

Тригонометрические формулы для прямоугольных треугольников дают также отношения между сторонами s и углами A равностороннего треугольника (треугольника, у которого все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны):

${\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}{{\textrm {th}}(s)}}}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}$.

Независимо от того, является C прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения:

Гиперболический закон косинусов:

${\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ch} \,a\mathrm {ch} \,b-\mathrm {sh} \,a\mathrm {sh} \,b\cos C.}$

Двойственная закону теорема

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\mathrm {ch} \,c.}$

Существует также закон синусов:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C}{\mathrm {sh} \,c}},}$

и четырёхчленная формула:

${\displaystyle \cos C\mathrm {ch} \,a=\mathrm {sh} \,a\mathrm {ch} \,b-\sin C\mathrm {ctg} \,B.}$

• Четырёхугольник Ламберта
• Четырёхугольник Саккери

Формулы гиперболической тригонометрии, описывающие свойства гиперболических треугольников, находят применение в современных технологиях и физике:

• Теоретическая физика: гиперболическая геометрия служит математическим аппаратом для специальной теории относительности (СТО). Преобразования Лоренца интерпретируются через законы синусов и косинусов для гиперболического треугольника, образованного системами отсчёта и движущейся частицей, что упрощает вывод релятивистского уравнения ракеты и эффекта Доплера.
• Машинное обучение: свойства экспоненциального роста гиперболического пространства и вычисление его кривизны (через $\delta$-гиперболичность по Громову) используются для эффективного эмбеддинга сложных иерархических и древовидных структур данных в рекомендательных системах и гиперболических нейросетях (HNN). Алгоритм HyperSteiner применяется для построения деревьев Штейнера в модели Клейна — Бельтрами.
• Разработка компьютерных игр: отрицательная кривизна пространства востребована при процедурной генерации открытых миров. Компьютерные игры (такие как HyperRogue и воксельные движки Hypermine и HyperBlock) задействуют комбинаторные алгоритмы обхода гиперболических мозаик и правильных сот (honeycombs), что позволяет преодолевать ограничения численной точности при рендеринге неевклидовых пространств^[10][11].