Теорема о внешнем угле треугольника

Теорема о внешнем угле треугольника — теорема элементарной геометрии, устанавливающая, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Внешний угол треугольника — угол, смежный с внутренним углом, образованный стороной треугольника и продолжением другой стороны. У каждой вершины можно построить два равных вертикальных внешних угла.

Внешний угол треугольника строго больше каждого из несмежных внутренних углов. Это неравенство не требует пятого постулата и выполняется в абсолютной геометрии.

Сильная форма теоремы утверждает, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это утверждение является следствием теоремы о сумме углов треугольника и справедливо только в евклидовой геометрии.

Из теоремы о внешнем угле следует, что сумма любых двух внутренних углов треугольника строго меньше 180°. Кроме того, в прямоугольном треугольнике оба острых угла меньше 90°.

Слабая форма (неравенство) верна в абсолютной, евклидовой и гиперболической геометриях, но неверна в сферической. Сильная форма (равенство) верна только в евклидовой; в гиперболической выполняется строгое неравенство, а в сферической — неверна.

Теоре́ма о вне́шнем угле́ треуго́льника — одна из фундаментальных теорем элементарной евклидовой геометрии, устанавливающая связь между внешним углом треугольника и двумя внутренними углами, не смежными с ним.

В истории математики и основаниях геометрии теорема традиционно разделяется на две формы: слабую (неравенство, доказанное Евклидом без использования аксиомы параллельности) и сильную (равенство, вытекающее из теоремы о сумме углов треугольника).

⚠️Подсказка для ОГЭ/ЕГЭ
Главное правило: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Если в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ продолжена до точки $D$ , то:

$\angle ACD=\angle A+\angle B$

Что нужно запомнить для задач:

внешний угол всегда больше каждого из удалённых внутренних углов;

внутренний и внешний углы при одной вершине — смежные, значит их сумма равна $180^{\circ }$ ;

если известны два внутренних угла треугольника, то внешний угол находится их суммой;

если известен внешний угол и один удалённый внутренний, то второй находится вычитанием.

Полезные формулы:

$\angle _{\text{внешний}}=\angle _{1}+\angle _{2}$

$\angle _{\text{внутренний}}=180^{\circ }-\angle _{\text{внешний}}$

Часто встречается в ОГЭ/ЕГЭ:

найти угол по рисунку;

доказать, что угол больше другого;

использовать в цепочке с суммой углов треугольника;

применять в равнобедренном треугольнике, когда углы при основании равны.

Совет: если в задаче продолжили сторону треугольника, почти всегда нужно проверить, нельзя ли сразу применить теорему о внешнем угле.

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника — угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника, то есть угол, образованный одной стороной треугольника и продолжением другой его стороны.

Пусть дан треугольник △ABC. Если продолжить сторону BC за вершину C до точки D, то угол ∠ACD является внешним углом треугольника при вершине C. При этом углы ∠A (то есть ∠BAC) и ∠B (то есть ∠ABC) называются внутренними углами, не смежными с данным внешним углом (или удалёнными внутренними углами).

У каждой вершины треугольника можно построить два внешних угла (продолжая одну или другую сторону за вершину), но они являются вертикальными и, следовательно, равны.

Слабая форма (теорема Евклида)

Внешний угол треугольника строго больше каждого из внутренних углов, не смежных с ним.

Формально: в треугольнике △ABC, если ∠ACD — внешний угол при вершине C, то:

\angle ACD>\angle BAC\quad {\text{и}}\quad \angle ACD>\angle ABC.

Эта формулировка не использует пятый постулат Евклида (аксиому о параллельных) и справедлива в абсолютной геометрии, то есть как в евклидовой, так и в гиперболической геометрии Лобачевского.

Сильная форма

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Формально:

\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC.

Эта формулировка является следствием теоремы о сумме углов треугольника (равной 180°) и справедлива только в евклидовой геометрии. В школьном курсе планиметрии под «теоремой о внешнем угле» чаще всего подразумевается именно эта, сильная форма.

Доказательство слабой формы

Ниже приведено классическое доказательство Евклида (Предложение I.16), не использующее аксиому параллельности.

Дано: треугольник △ABC, точка D на продолжении стороны BC за точку C.

Доказать: ∠ACD > ∠BAC.

Доказательство:

Пусть M — середина отрезка AC (то есть AM = MC).
Проведём отрезок BM и продолжим его за точку M до точки E так, что ME = BM.
Соединим точки E и C.
Рассмотрим треугольники △AMB и △CME:
- AM = MC (M — середина AC, по построению);
- BM = ME (по построению);
- ∠AMB = ∠CME (как вертикальные углы).
По первому признаку равенства треугольников (сторона — угол — сторона):
$\triangle AMB=\triangle CME.$
Следовательно, ∠BAM = ∠ECM. Поскольку точки A, M, C лежат на одной прямой, лучи CA и CM совпадают, а значит углы ∠ECM и ∠ECA — это один и тот же угол. Таким образом, ∠ECA = ∠BAC.
Точка E лежит внутри угла ∠ACD (луч CE проходит между лучами CA и CD). Следовательно, часть угла меньше целого:
$\angle ACD>\angle ECA.$
Подставляя равенство из пункта 6, получаем:
$\angle ACD>\angle BAC.$
Аналогичным построением (с серединой стороны BC) доказывается, что ∠ACD > ∠ABC.

Доказательство слабой формы теоремы о внешнем угле

Строгое обоснование того, что точка E попадает внутрь угла ∠ACD (то есть что луч CE лежит между CA и CD), требует привлечения аксиом порядка (аксиомы Паша или аксиом расположения по Гильберту), чего Евклид явно не делал. Это один из известных логических пробелов «Начал», восполненных лишь в конце XIX века^[1].ЧТД

Доказательство сильной формы

Дано: треугольник $\triangle ABC$ , точка $D$ на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ .

Доказать: $\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC$ .

Так как $\angle ACB$ и $\angle ACD$ — смежные углы, то:

\angle ACB+\angle ACD=180^{\circ }.\quad (1)

По теореме о сумме углов треугольника:

\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }.\quad (2)

Из равенства (2) выразим $\angle ACB$ :

\angle ACB=180^{\circ }-\angle BAC-\angle ABC.\quad (3)

Подставим (3) в (1):

180^{\circ }-\angle BAC-\angle ABC+\angle ACD=180^{\circ }.

Откуда, сокращая на $180^{\circ }$ и перенося слагаемые, получаем:

\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC.

Доказательство сильной формы теоремы о внешнем угле треугольника

ЧТД.

Из теоремы о внешнем угле треугольника непосредственно вытекают следующие утверждения^[2]:

в любом треугольнике сумма любых двух внутренних углов строго меньше 180° (в евклидовой геометрии).

Доказательство: согласно теореме о внешнем угле (Предложение I.16), внешний угол треугольника больше каждого из не смежных с ним внутренних углов. Поскольку внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°, то сумма двух других внутренних углов неизбежно оказывается строго меньше 180° (Предложение I.17).

в прямоугольном треугольнике оба острых угла строго меньше 90°.

Доказательство: каждый из острых углов меньше внешнего угла при вершине прямого угла, который равен 180° − 90° = 90°.

если в треугольнике один из углов тупой или прямой, то два остальных угла — обязательно острые.

Дано: треугольник $ABC$ , в котором угол $A$ является прямым или тупым, то есть $\angle A\geq 90^{\circ }$ .

Доказать: углы $B$ и $C$ — острые (то есть $\angle B<90^{\circ }$ и $\angle C<90^{\circ }$ ).

Доказательство:

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма его внутренних углов равна $180^{\circ }$ : $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$
Выразим сумму углов $B$ и $C$ : $\angle B+\angle C=180^{\circ }-\angle A$
Так как по условию $\angle A\geq 90^{\circ }$ $\angle A\geq 90^{\circ }$ , то вычитаемое не меньше $90^{\circ }$ $90^{\circ }$ . Следовательно, разность не превосходит $90^{\circ }$ $90^{\circ }$ :
$180^{\circ }-\angle A\leq 90^{\circ }$
$180^{\circ }-\angle A\leq 90^{\circ }$
- Отсюда получаем: $\angle B+\angle C\leq 90^{\circ }$
Поскольку углы треугольника являются положительными величинами ( $\angle B>0$ $\angle B>0$ и $\angle C>0$ $\angle C>0$ ), их сумма может быть меньше или равна $90^{\circ }$ $90^{\circ }$ только в том случае, если каждый из них в отдельности строго меньше $90^{\circ }$ $90^{\circ }$ .
- ьо есть $\angle B<90^{\circ }$ и $\angle C<90^{\circ }$ .
Углы, которые меньше $90^{\circ }$ , по определению являются острыми.

Вывод: если в треугольнике один угол тупой или прямой, два других угла обязательно острые. $\blacksquare$

Теорема о внешнем угле треугольника имеет ряд обобщений^[3]^[4].

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Наиболее важным обобщением теоремы является свойство суммы внешних углов. Если в каждой вершине выпуклого n-угольника взять по одному внешнему углу, то их сумма всегда равна 360° (или $2\pi$ радиан), независимо от числа сторон:

\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}=360^{\circ }.

Для треугольника это означает, что сумма трёх внешних углов равна 360°, что легко проверяется: $(180^{\circ }-\alpha )+(180^{\circ }-\beta )+(180^{\circ }-\gamma )=540^{\circ }-180^{\circ }=360^{\circ }$ .

Внешний угол как угол поворота

В дифференциальной геометрии, кинематике и компьютерной графике внешний угол интерпретируется как угол поворота (turning angle). Если материальная точка движется по периметру выпуклого многоугольника, то в каждой вершине она должна повернуть на величину внешнего угла, чтобы продолжить движение по следующей стороне. Сумма углов поворота на любом замкнутом выпуклом контуре всегда равна полному обороту (360°).

Внешний угол относительно окружности

Теорема обобщается на углы, вершина которых лежит вне круга. Если две секущие пересекаются вне окружности, то угол между ними равен полуразности заключённых между ними дуг. Это утверждение доказывается применением теоремы о внешнем угле к треугольнику, образованному секущими и хордой, соединяющей точки пересечения секущих с окружностью.

Сферическая геометрия

В сферической геометрии слабая форма теоремы неверна: внешний угол сферического треугольника может быть меньше любого из не смежных с ним внутренних углов. Это связано с тем, что сумма углов сферического треугольника превышает 180°.

Гиперболическая геометрия

В геометрии Лобачевского слабая форма теоремы верна (она доказывается без использования аксиомы параллельности), но сильная форма неверна, так как сумма углов треугольника строго меньше 180°. В гиперболическом случае:

\angle ACD>\angle BAC+\angle ABC,

то есть внешний угол строго больше суммы двух не смежных внутренних углов. Разность $\angle ACD-(\angle BAC+\angle ABC)$ пропорциональна дефекту треугольника.

Теорема о внешнем угле занимает важное место в логической структуре геометрии:

Геометрия	Слабая форма (неравенство)	Сильная форма (равенство)
Абсолютная (без аксиомы параллельности)	Да Верна	Нет Не доказуема
Евклидова	Да Верна	Да Верна
Гиперболическая (Лобачевского)	Да Верна	Нет Неверна (строгое неравенство «>» вместо «=»)
Сферическая (эллиптическая)	Нет Неверна	Нет Неверна

Слабая форма принадлежит к так называемой абсолютной геометрии — совокупности теорем, доказуемых из аксиом Гильберта без аксиомы параллельности. Это делает её логически более сильной и универсальной, чем сильная форма.

↑ Heath T. L. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — Dover, 1956. — Vol. Vol. 1.
↑ Artmann B. Euclid — The Creation of Mathematics. — New York: Springer, 1999. — P. 29—30, 35. — ISBN 978-1-461214120.
↑ Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
↑ Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии / сост. сб. задач А. С. Пархоменко. — 2-е изд., стер.. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — 911 с. — ISBN 978-5-8114-0812-2.

Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии / сост. сб. задач А. С. Пархоменко. — 2-е изд., стер.. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — 911 с. — ISBN 978-5-8114-0812-2.
Евклид. Начала Евклида. Книги I—VI / Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1948.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7—9 классы. — М.: Просвещение, 2014. — ISBN 978-5-09-033352-8.
Гордин Р. К. Геометрия. Планиметрия. 7—9 классы. — М.: МЦНМО, 2006. — 416 с. — ISBN 5-94057-157-3.
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 5-е изд.. — М.: МЦНМО, 2006. — ISBN 5-94057-214-4.
Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
Greenberg M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 4th ed. — New York : W. H. Freeman, 2008. — ISBN 978-0-7167-9948-1.
Hartshorne R. Geometry: Euclid and Beyond. — New York : Springer, 2000. — ISBN 0-387-98650-2.

[heath-1] Heath T. L. The Thirteen Books of Euclid's Elements. — Dover, 1956. — Vol. Vol. 1.

[2] Artmann B. Euclid — The Creation of Mathematics. — New York: Springer, 1999. — P. 29—30, 35. — ISBN 978-1-461214120.

[3] Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.

[4] Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии / сост. сб. задач А. С. Пархоменко. — 2-е изд., стер.. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — 911 с. — ISBN 978-5-8114-0812-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс

Теорема о внешнем угле треугольника

Основные определения

Внешний угол треугольника

Формулировки теоремы

Слабая форма (теорема Евклида)

Сильная форма

Доказательства

Следствия

Обобщения

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Внешний угол как угол поворота

Внешний угол относительно окружности

Сферическая геометрия

Гиперболическая геометрия

Связь с аксиоматикой и неевклидовыми геометриями

Примечания

Литература

Дополнительно по теме

Категории