Параллелепипед

Различается несколько типов параллелепипедов:

• наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию;
• прямой — боковые грани перпендикулярны основанию;
• прямоугольный — все грани являются прямоугольниками;
• ромбоэдр — все грани являются равными ромбами;
• куб — все грани являются квадратами.

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

• Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
• Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
• Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Площадь боковой поверхности: S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота.

Площадь полной поверхности: S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания.

Объём: V=S_о*h.

Площадь боковой поверхности: S_б=2c(a+b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности: S_п=2(ab+bc+ac).

Объём: V=abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь поверхности: ${\displaystyle S=6a^{2}}$.
Объём: ${\displaystyle V=a^{3}}$, где ${\displaystyle a}$ — ребро куба.

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения^[2]:215.

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом ${\displaystyle B}$ понимают множество точек ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ вида ${\displaystyle B=\{x|a_{1}\leqslant x_{1}\leqslant b_{1},\ldots ,a_{n}\leqslant x_{n}\leqslant b_{n}\}}$

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и шестиугольником.