Систола поверхности

Первое систолическое неравенство получил Чарльз Лёвнер (Karel Löwner, 1893–1968) в курсе лекций в Сиракузском университете в 1949 году. Работа не была опубликована автором, но сохранилась благодаря примечанию в статье его ученика Пу Баомина^[2][3][4].

Пу Баомин (Pu Pao-Ming) в 1952 году доказал оптимальное неравенство для вещественной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$^[5]. Эта работа стала первой опубликованной статьёй по систолической геометрии.

В 1960-е годы К. Акола и К. Блаттер получили родозависимые оценки для поверхностей высокого рода. Неявное универсальное неравенство ${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq 2\,\mathrm {area} }$ появилось в работе Родина (1968) и было явно сформулировано в книге Бураго и Залгаллера (1980)^[6] и статье Хебды (1981/82)^[7].

Современную форму теория приобрела благодаря Михаилу Громову, который в фундаментальной статье «Filling Riemannian manifolds» (1983)^[8]:

• предложил сам термин «систола» (по аналогии с медицинским термином «систола» — сокращением сердечной мышцы);
• доказал оценку ${\displaystyle (\log g)^{2}/g}$ для поверхностей высокого рода;
• построил многомерную теорию систолических неравенств для эссенциальных многообразий;
• связал систолическую геометрию с теорией заполняющих объёмов.

К.Бавард (1986) решил задачу об оптимальной константе для бутылки Клейна^[9].

• 1994: Бузер и Сарнак построили арифметические гиперболические поверхности с большими систолами^[10].
• 2002: Набутовский и Ротман улучшили оценку для сферы.
• 2005–2006: Катц и Сабуру получили асимптотические границы и доказали Лёвнеровость гиперэллиптических поверхностей^[11][12].
• 2006: Ротман доказал оценку ${\displaystyle L^{2}\leq 32\,\mathrm {area} }$ для сферы^[13].
• 2007: Кац, Шапс и Вишне получили явную константу 4/3 для логарифмического роста систол на поверхностях Гурвица^[14].

В последние годы получены важные результаты:

• 2024: Доказано, что все поверхности с неположительной кривизной в смысле CAT(0) являются Лёвнеровскими (то есть удовлетворяют неравенству ${\displaystyle \mathrm {SR} \leq 2/{\sqrt {3}}}$)^[15]. Этот результат значительно расширяет класс поверхностей, для которых гипотеза Лёвнера подтверждена, и включает все поверхности рода ${\displaystyle g\geq 2}$ с метриками неположительной кривизны..
• Асимптотические улучшения. Получены новые оценки для разделяющих систол (separating systoles) — циклов, разделяющих поверхность на две части. Сабуру (2008) доказал, что асимптотика оптимального систолического отношения для разделяющих систол также имеет порядок ${\displaystyle (\log g)^{2}/g}$, но с другой константой^[16]. Получены также улучшения констант в универсальных неравенствах для многообразий высоких размерностей^[17].
• Вычислительная геометрия. Разработаны алгоритмы численного поиска экстремальных метрик для малых родов. В частности, созданы программы для вычисления систол на плоских поверхностях с коническими особенностями (Kenyon, 1990-е) и алгоритмы минимизации систолического отношения методом конечных элементов^[18]. Эти методы позволяют находить кандидаты на экстремальные метрики для родов 3–19, где точные решения неизвестны.
• Связь с машинным обучением. Систолические инварианты начинают применяться в анализе топологических данных (TDA — Topological Data Analysis). В частности, длина систол используется как признак для классификации форм поверхностей и в задачах персистентных гомологий^[19]. Эта связь особенно перспективна для анализа сложных геометрических данных в биоинформатике и компьютерном зрении.

В 1949 году Чарльз Лёвнер доказал неравенство для тора ${\displaystyle T^{2}}$:

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,\mathrm {area} ,\qquad {\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}1547.}$

Равенство достигается на плоском равностороннем торе — факторе плоскости по гексагональной решётке. Для квадратного тора SR = 1, для гексагонального SR = 2/√3^[24].

Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости (1952):

${\displaystyle \mathrm {sys} ^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\,\mathrm {area} ,\qquad {\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}5708.}$

Равенство достигается на метрике постоянной кривизны (полусфера со склейкой антиподов): ${\displaystyle \mathrm {sys} =\pi R}$, ${\displaystyle \mathrm {area} =2\pi R^{2}}$^[25].

Для бутылки Клейна K Бавард (1986) получил оптимальную границу^[26]:

${\displaystyle \mathrm {SR} (K)\leqslant {\frac {\pi }{\sqrt {8}}},\qquad {\frac {\pi }{\sqrt {8}}}\approx 1{,}1107.}$

Все плоские метрики на бутылке Клейна удовлетворяют лишь SR ≤ 1, поэтому экстремальная метрика Баварда — неплоская.

Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет границе Лёвнера ${\displaystyle \mathrm {SR} (2)\leqslant {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$: Катц и Сабуру доказали, что всякая гиперэллиптическая поверхность Лёвнеровская^[27].

Рекордную систолу для рода 2 имеет поверхность Больцы — склейка правильного гиперболического восьмиугольника с углами 45°: ${\displaystyle \mathrm {sys} =2\operatorname {arcosh} (1+{\sqrt {2}})\approx 3{,}057}$, откуда при area = 4π получается ${\displaystyle \mathrm {SR} \approx 0{,}744}$.

Поверхности Гурвица ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ удовлетворяют границе^[33]:

${\displaystyle \mathrm {sys} (\Sigma _{g})\geqslant {\frac {4}{3}}\log g,}$

что даёт асимптотику систолического отношения:

${\displaystyle \mathrm {SR} (g)\sim {\frac {4}{9\pi }}{\frac {(\log g)^{2}}{g}},\qquad {\frac {4}{9\pi }}\approx 0{,}1415.}$

Верхняя асимптотическая граница (неравенство энтропии Катока)^[34]:

${\displaystyle \mathrm {SR} (g)\leq {\frac {(\log g)^{2}}{\pi g}}.}$

Для многообразий, где обычное систолическое неравенство не выполняется (например, ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$), используется понятие стабильной систолы (${\displaystyle \mathrm {stsys} }$). Она определяется через гомологическую систолу и норму в вещественных гомологиях^[35]:

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}(g)=\inf\{\|h\|:h\in H_{1}(M;\mathbb {Z} )/{\text{torsion}},h\neq 0\},}$

где норма индуцирована римановой метрикой.

• Неравенство для стабильной систолы. Для любого замкнутого риманова многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ существует константа ${\displaystyle C_{n}}$, зависящая только от размерности, такая что^[36]:

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}(g)^{n}\leq C_{n}\cdot \mathrm {vol} (M,g).}$

• Связь с обычной систолой. Всегда выполняется ${\displaystyle \mathrm {stsys} _{1}(g)\leq \mathrm {sys} _{1}(g)}$, причём неравенство может быть строгим.

• Примеры. Для тора ${\displaystyle T^{n}}$ стабильная систола совпадает с обычной систолой, тогда как для ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ стабильная систола положительна, а обычная может быть сделана сколь угодно большой при фиксированном объёме^[37].

Для замкнутого риманова многообразия ${\displaystyle M^{n}}$ размерности ${\displaystyle n}$ гомотопическая систола ${\displaystyle \mathrm {sys} _{\pi }(M)}$ определяется как длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой^[38]:

${\displaystyle \mathrm {sys} _{\pi }(M)=\inf\{L(\gamma ):\gamma \in \pi _{1}(M),\gamma \neq 1\}.}$

Многообразие ${\displaystyle M^{n}}$ называется эссенциальным, если его фундаментальный класс отображается нетривиально в гомологии классифицирующего пространства ${\displaystyle K(\pi _{1}(M),1)}$. Для таких многообразий Громов доказал фундаментальное неравенство^[39]:

${\displaystyle \mathrm {sys} _{\pi }(M)^{n}\leq C_{n}\cdot \mathrm {vol} (M),}$

где константа ${\displaystyle C_{n}}$ зависит только от размерности.

• Торы. Для ${\displaystyle T^{n}}$ оптимальная константа связана с постоянной Эрмита ${\displaystyle \gamma _{n}}$ решёток.
• Проективные пространства. Для ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ с канонической метрикой достигается равенство в соответствующем неравенстве.
• Произведения сфер. Многообразие ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ не является эссенциальным, и для него не выполняется систолическое неравенство.

Систолические неравенства тесно связаны с шириной Урысона ${\displaystyle UW_{n-1}(M)}$:

${\displaystyle \mathrm {sys} _{\pi }(M)\leq C\cdot UW_{n-1}(M),}$

что является частью теории заполняющих объёмов Громова^[40].

Арифметические гиперболические поверхности, построенные Бузером и Сарнаком^[42], имеют систолы порядка ${\displaystyle \log g}$. Эти конструкции используют:

• Конгруэнц-подгруппы фуксовых групп
• Кватернионные алгебры над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Теорию представлений арифметических групп

Результат Каца, Шапс и Вишне (2007) о поверхностях Гурвица использует порядок кватернионов Гурвица и даёт явную константу 4/3 в логарифмической оценке^[43].

Существует глубокая аналогия между систолами римановых поверхностей и обхватом (girth) графов — длиной кратчайшего цикла. Это связывает систолическую геометрию с:

• Теорией экспандеров
• Кодами на графах
• Спектральной теорией графов

Неравенство Лёвнера для тора эквивалентно оценке на постоянную Эрмита ${\displaystyle \gamma _{2}=2/{\sqrt {3}}}$ для квадратичных форм двух переменных. Это связывает систолическую геометрию с:

• Теорией решёток
• Задачей о плотнейшей упаковке кругов
• Диофантовыми приближениями

Систолические константы появляются в:

• Спектральной геометрии — оценки первого собственного числа оператора Лапласа — Бельтрами^[44]
• Квантовая теория поля на римановых поверхностях
• Теория струн — модули римановых поверхностей и их метрические свойства

Для вычисления систолы конкретной римановой поверхности используются:

• Методы дискретизации. Аппроксимация поверхности триангуляцией и поиск кратчайших циклов в графе.
• Вариационные методы. Минимизация функционала длины в классе нестягиваемых петель.
• Геодезические потоки. Численное интегрирование уравнений геодезических.

Визуализация систолических петель важна для понимания геометрии поверхности. Современные методы включают:

• Отображение геодезических на фундаментальной области
• Проекции в модели гиперболической плоскости
• Интерактивные 3D-модели поверхностей

Решётка ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}}$:

• Образующие: ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$, ${\displaystyle e_{2}=(0,1)}$
• Площадь: ${\displaystyle \mathrm {area} =|\det(e_{1},e_{2})|=1}$
• Систола: ${\displaystyle \mathrm {sys} =\min\{|e_{1}|,|e_{2}|\}=1}$
• Систолическое отношение: ${\displaystyle \mathrm {SR} =1^{2}/1=1<2/{\sqrt {3}}}$

Решётка с образующими под углом 60°:

• Образующие: ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$, ${\displaystyle e_{2}=(1/2,{\sqrt {3}}/2)}$
• Площадь: ${\displaystyle \mathrm {area} =|\det(e_{1},e_{2})|={\sqrt {3}}/2}$
• Систола: ${\displaystyle \mathrm {sys} =|e_{1}|=|e_{2}|=|e_{2}-e_{1}|=1}$
• Систолическое отношение: ${\displaystyle \mathrm {SR} =1^{2}/({\sqrt {3}}/2)=2/{\sqrt {3}}\approx 1{,}1547}$

Это экстремальная метрика — достигается равенство в неравенстве Лёвнера.

Правильный гиперболический восьмиугольник с углами 45°:

• Площадь: ${\displaystyle \mathrm {area} =4\pi }$ (по формуле Гаусса — Бонне)
• Систола: ${\displaystyle \mathrm {sys} =2\operatorname {arcosh} (1+{\sqrt {2}})\approx 3{,}057}$
• Систолическое отношение: ${\displaystyle \mathrm {SR} =(3{,}057)^{2}/(4\pi )\approx 0{,}744}$

Это рекордная систола для рода 2, но SR значительно ниже границы Лёвнера ${\displaystyle 2/{\sqrt {3}}}$.

Сфера радиуса ${\displaystyle R}$:

• Площадь: ${\displaystyle \mathrm {area} =4\pi R^{2}}$
• Кратчайшая замкнутая геодезическая (экватор): ${\displaystyle L=2\pi R}$
• Отношение: ${\displaystyle \mathrm {area} /L^{2}=4\pi R^{2}/(4\pi ^{2}R^{2})=1/\pi \approx 0{,}318}$

Это больше, чем ${\displaystyle 1/(2{\sqrt {3}})\approx 0{,}289}$, что согласуется с гипотезой Калаби — Крока.

Систолические оценки дают априорные границы на длины замкнутых геодезических в пространстве модулей римановых поверхностей и используются при изучении его геометрии и компактификации.

Неравенство Лёвнера и его равенство на гексагональной решётке тесно связаны с постоянной Эрмита для квадратичных форм и задачей о плотнейшей упаковке кругов на плоскости. Оценки систол арифметических поверхностей применяются в теории арифметических групп и периодных матриц.

Систолические методы Громова переносятся на высшие размерности (эссенциальные многообразия, ширина Урысона, неравенства заполнения) и служат инструментом количественной гомотопической теории^[45].

Систолические алгоритмы (по Сабуру) оценивают топологическую сложность сетей и триангуляций и применяются при распознавании ручек в больших данных на поверхностях.

Связи систолических констант со спектральной теорией (через неравенство энтропии Катока) используются при оценках первого собственного числа оператора Лапласа — Бельтрами и энтропии геодезических потоков^[46].