Прямая Эйлера

• Прямая Эйлера проходит через:
  • Центроид треугольника
  • Ортоцентр треугольника
  • Точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности)
  • Центр окружности девяти точек
  • Точка Эксетера X(22)
  • Теорема Эйлера. Точка пересечения медиан M лежит на прямой Эйлера и делит отрезок между центром описанной окружности O и ортоцентром H в отношении 1:2 (${\displaystyle OM:MH=1:2}$).
  • Прямая ${\displaystyle X(485)X(486)}$, проходящая через две точки Вектена ${\displaystyle X(485)}$ и ${\displaystyle X(486)}$, пересекает прямую Эйлера в центре девяти точек треугольника ${\displaystyle ABC}$.
  • Уравнение прямой Эйлера в трилинейных координатах есть

    ${\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(C-A)=0.}$

• На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью, она перпендикулярна прямой Эйлера.

• Теорема Шиффлера утверждает следующее: Если в треугольнике ABC с центром вписанной окружности I рассмотреть три треугольника BCI, CAI и ABI, то их три (первые) прямые Эйлера, а также (первая) прямая Эйлера треугольника ABC (все четыре прямые) пересекутся в одной точке — в точке Шиффлера Sp (см. рис. справа).

Указанную выше прямую Эйлера иногда называют (первой) обобщённой прямой Эйлера^[1]. На этой прямой лежат 4 точки:

• центроид данного треугольника (он же — центроид дополнительного треугольника, и он же — центроид антидополнительного треугольника)
• ортоцентр данного треугольника ABC
• центр описанной окружности данного треугольника ABC (он же — центр окружности Эйлера антидополнительного треугольника A"B"C")
• центр окружности Эйлера данного треугольника ABC
• Некоторые авторы добавляют ещё точку Лоншана L — точку зеркального отражения ортоцентра треугольника ABC относительно его центра описанной окружности (L= de Longchamps point), введённую французским математиком де Лоншаном. Эта точка — ортоцентр антидополнительного треугольника^[2][3].

Вторую прямую Эйлера или прямую Эйлера-Нагеля определяет следующая Теорема Хузеля.

• Теорема Хузеля уточнённая(Housel). Центр тяжести (G) данного треугольника ABC (центроид), центр вписанной окружности (I), его точка Нагеля (M) и центр (S) круга, вписанного в дополнительный треугольник A’B’C' (или в Центр Шпикера), лежат на одной прямой. Более того^[4],

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.}$

Указанную прямую иногда называют второй прямой Эйлера или прямой Эйлера-Нагеля. На этой прямой лежат 4 точки:

• центроид(G) данного треугольника (он же — центроид дополнительного треугольника, и он же — центроид антидополнительного треугольника).
• точка Нагеля (M) данного треугольника ABC (она же — центр круга, вписанного в антидополнительный треугольник A"B"C")
• центр вписанной окружности (I) данного треугольника ABC
• центр (S) круга, вписанного в дополнительный треугольник A’B’C', называемый также центром Шпикера.

• Все обобщённые прямые Эйлера обязательно проходят через центроид данного треугольника, являющегося одновременно центроидами дополнительного треугольника и антидополнительного треугольника.

Если брать у треугольника ABC любую пару сторон, а третьей стороной брать первую прямую Эйлера треугольника ABC, то перебором трёх вариантов можно построить три треугольника. Их первые прямые Эйлера образуют треугольник AgBgCg, конгруэнтный треугольнику ABC (равный ему, но повёрнутый на некоторый угол). Три пары отрезков, соединяющие сходственные вершины этих двух конгруэнтных треугольников пересекутся в точке Pg, называемой перспектором Госсарда.

Перспектор Госсарда (Gossard Perspector) http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/gosspersp.html

Теорема Эйлера была доказана в 1765 году Л. Эйлером. Тогда же он обнаружил и тот факт, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности — окружности Эйлера.