Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса — теорема планиметрии, согласно которой параллельные прямые, пересекающие две другие прямые, отсекают на них пропорциональные (в частном случае — равные) отрезки.

Теорему связывают с именем Фалеса Милетского. По легенде, он измерил высоту пирамиды Хеопса по длине тени. Первое письменное доказательство дано Евклидом в «Началах».

Теорема верна для любых секущих (пересекающихся и параллельных) и является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Для пересекающихся секущих обратная теорема утверждает: если отрезки, отсекаемые на обеих прямых от вершины, равны (пропорциональны), то прямые параллельны. Для параллельных секущих требуется равенство отрезков на обеих секущих, иначе утверждение неверно (контрпример — трапеция). Теорема применяется в навигации: столкновение судов неизбежно при сохранении направления с одного на другое.

Лемма Соллертинского утверждает: проективное соответствие точек двух прямых даёт огибающую конического сечения. Для теоремы Фалеса коника вырождается в бесконечно удалённую точку.

Аргентинская группа Les Luthiers посвятила теореме песню. В манге JoJo’s Bizarre Adventure персонаж Ёшикагэ Кира использует её для вычисления расстояния.

Теорема Фалеса — теорема планиметрии о наборе параллельных секущих к паре прямых.

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теоремой о пропорциональных отрезках

Параллельные секущие образуют на прямых пропорциональные отрезки:

{\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.

Замечания

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на прямых.

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае не параллельных прямых

Доказательство теоремы Фалеса

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые $AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}$ и при этом $AB=CD$ .

Проведём через точки $A$ и $C$ прямые, параллельные другой стороне угла. $AB_{2}B_{1}A_{1}$ и $CD_{2}D_{1}C_{1}$ . Согласно свойству параллелограмма: $AB_{2}=A_{1}B_{1}$ и $CD_{2}=C_{1}D_{1}$ .
Треугольники $\bigtriangleup ABB_{2}$ и $\bigtriangleup CDD_{2}$ равны на основании второго признака равенства треугольников

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC. Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC, а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC. Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD. ■

Эта теорема приписывается греческому математику и философу Фалесу Милетскому. По легенде, Фалес Милетский рассчитывал высоту пирамиды Хеопса, измеряя длину её тени на земле и длину тени палки известной высоты. Самое раннее из известных письменных доказательств этой теоремы дано в «Началах» Евклида (предложение 2 книги VI).

Обратная теорема

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Таким образом (см. рис.) из того, что ${\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots$ , следует, что $A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots$ .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского:

Пусть $f$ — проективное соответствие между точками прямой $l$ и прямой $m$ . Тогда множество прямых $Xf(X)$ будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть $f$ — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых $Xf(X)$ будет коника (возможно, вырожденная).

Аргентинская комедийная музыкальная группа Les Luthiers представила песню, посвящённую теореме;

Ёшикагэ Кира из манги JoJo’s Bizarre Adventure использовал теорему посреди боя, дабы вычислить расстояние до цели.

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Геометрия по Киселёву, § 188.

Атанасян Л. C. и др. Геометрия 7—9. — Изд. 3-е. — М.: Просвещение, 1992.

Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Формулировки

Замечания

История

Вариации и обобщения

Обратная теорема

Лемма Соллертинского

В культуре

См. также

Примечания

Литература

Категории