Эллипсоид

Эллипсо́ид (от эллипс и греч. εἶδος — вид) — замкнутая центральная поверхность второго порядка^[1].

Греческое слово «эллипсоид» означает «эллипсовидный». Древнегреческие геометры называли эллипсоиды вращения (других они не рассматривали) сфероидами, то есть «сферовидными». Это наименование употребляется и в XXI веке^[2].

Поверхность, представляемая уравнением ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ , называется эллипсоидом. Положительные числа $a,b,c$ и отрезки соответствующей длины называют полуосями эллипсоида.

Линия пересечения эллипсоида с плоскостью $XOY$ представляется системой

${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\\z=0.\end{cases}}$

Она равносильна системе ${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\\z=0\end{cases}}$ так что эта линия есть эллипс с полуосями $a$ и $b$ .

Эллипсоид вращения

Определение 1

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то он называется эллипсоидом вращения.

Эллипсоиды вращения получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии^[3].

Определение 2

Поверхность, получаемая равномерным сжатием сферы к её экватору, называется эллипсоидом вращения.

Сжатый эллипсоид вращения получается, когда коэффициент сжатия $k<1$ , вытянутый — когда $k>1$ ^[4].

Теорема (об уравнении поверхности вращения)

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность $S$ задана уравнением $F(x^{2}+y^{2},z)=0$ , то $S$ — поверхность вращения вокруг оси $OZ$ .

Виды эллипсоидов вращения

1. При $a=b>c$ имеют сжатый (стиснутый) эллипсоид вращения, получающийся при вращении эллипса ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ , лежащего в плоскости $Oxz$ , вокруг его малой оси.

2. При $a=b<c$ имеют вытянутый эллипсоид вращения, получающийся при вращении эллипса ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$ , лежащего в плоскости $Oxz$ , вокруг его большой оси.

3. При $a=b=c$ эллипсоид представляет собой сферу $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ .

Мнимый эллипсоид

Поверхность второго порядка, каноническое уравнение которой имеет вид ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$ , называется мнимым эллипсоидом.

Мнимый эллипсоид не имеет ни одной вещественной точки^[5].

Трёхосный эллипсоид

Если $a\neq b\neq c$ эллипсоид называется трёхосным.

Точки $A(a;0;0)$ , $A'(-a;0;0)$ , $B(0;b;0)$ , $B'(0;-b;0)$ , $C(0;0;c)$ , $C'(0;0;-c)$ называются вершинами трёхосного эллипсоида. Эллипсы $A'CA$ , $B'CB$ , $A'BA$ называются главными. Отрезки $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ , а также их длины называются осями эллипсоида. Если $a>b>c$ , то $2a$ — большая, $2b$ — средняя и $2c$ — малая оси. Любое сечение, проходящее через ось $OZ$ , можно получить поворотом эллипса около этой оси. Окружность $A'BA$ называется экватором эллипсоида^[6].

Трёхосный эллипсоид может быть получен из сферы равномерным сжатием относительно двух перпендикулярных плоскостей^[7].

Эллипсоид представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Сечение эллипсоида любой плоскостью представляет собой эллипс. Сечения эллипсоида вращения плоскостями, параллельными плоскости равных полуосей, являются окружностями.

Сечение эллипсоида плоскостью $z=h$ представляется системой

${\begin{cases}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1-{\frac {h^{2}}{c^{2}}},\\z=h\end{cases}}$

Если $\vert {}h\vert {}>c$ , то уравнение $z=h$ не представляет геометрического места («мнимый эллиптический цилиндр»). В этом случае плоскость не пересекает эллипсоида.

При $\vert {}h\vert {}=c$ уравнение $z=h$ представляет ось $OZ$ . Плоскость $z=c$ имеет с эллипсоидом одну общую точку с координатами $(0;0;c)$ (точка касания). Таким же образом плоскость $z=-c$ касается эллипсоида в точке с координатами $(0;0;-c)$ .

Если же $\vert {}h\vert {}<c$ , то искомое сечение есть эллипс с полуосями

$KL=a{\sqrt {1-{\frac {h^{2}}{c^{2}}}}},\quad KM=b{\sqrt {1-{\frac {h^{2}}{c^{2}}}}}$ .

пропорциональными $a$ и $b$ .

По мере удаления от плоскости $XOY$ размеры сечений уменьшаются (причём все они подобны).

Аналогичные рассуждения и для сечений, параллельных плоскостям $XOZ$ и $YOZ$ .

Точка $O$ есть центр симметрии эллипсоида. Центр симметрии эллипсоида называется его центром. Плоскости $XOY$ , $XOZ$ и $YOZ$ — плоскости симметрии, оси $OX$ , $OY$ и $OZ$ — оси симметрии.

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек трёхмерного пространства, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{13}xz+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов $a_{11}$ , $a_{22}$ , $a_{33}$ , $a_{12}$ , $a_{23}$ , $a_{13}$ отличен от нуля.

Гиперповерхность второго порядка

Пусть $V$ — $n$ -мерное вещественное евклидово пространство. Векторы ${\boldsymbol {x}}$ этого пространства условились называть точками.

Гиперповерхностью $S$ называют геометрическое место точек ${\boldsymbol {x}}$ , удовлетворяющих уравнению вида $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})+2B({\boldsymbol {x}})+c=0$ , где $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})$ — не равная тождественно нулю квадратичная форма, $B({\boldsymbol {x}})$ — линейная форма, а $c$ — вещественное число.

Выделив в пространстве $V$ какой-либо ортонормированный базис $\{{\boldsymbol {e}}_{k}\}$ и обозначив в этом базисе координаты точки ${\boldsymbol {x}}$ через $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ , получают квадратичную форму $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})$ в виде

$A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})=\sum _{j,\,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k}$ , где $a_{jk}=A({\boldsymbol {e}}_{j},{\boldsymbol {e}}_{k})$ и $A({\boldsymbol {e}}_{j},{\boldsymbol {e}}_{k})$ — значение на векторах ${\boldsymbol {e}}_{j}$ и ${\boldsymbol {e}}_{k}$ симметричной билинейной формы $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})$ , полярной квадратичной форме $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})$ .

Линейная форма $B({\boldsymbol {x}})$ в указанном базисе $\{{\boldsymbol {e}}_{k}\}$ представляется в виде

$B({\boldsymbol {x}})=\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}$ .

Таким образом, общее уравнение гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве $V$ с выделенным базисом $\{{\boldsymbol {e}}_{k}\}$ может быть представлено в следующей форме:

$\sum _{j,\,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k}+2\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}+c=0$ .

В дальнейшем рассматриваются матрицы $A=\left({\begin{matrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{matrix}}\right)$ и $B=\left({\begin{matrix}a_{11}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}&b_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}&c\end{matrix}}\right)$

и определители $\det A$ и $\det B$ этих матриц^[8].

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственнен, то его координаты $\left(x_{0},\;y_{0}\;z_{0}\right)$ можно найти, решив систему уравнений:

${\begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}z_{0}+a_{14}=0\\a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}z_{0}+a_{24}=0\\a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33}z_{0}+a_{34}=0\end{cases}}$

Каноническое уравнение центральной гиперповерхности второго порядка

${\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\dots +{\frac {x_{p}^{2}}{a_{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{a_{p+1}^{2}}}-\dots -{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}+{\text{sgn}}{\frac {\det B}{\det A}}=0$ .

Величины $a_{k}$ , ( $k=1,2,\dots ,n$ ), называются полуосями центральной гиперповерхности второго порядка^[9].

Классификация центральных гиперповерхностей

Если в каноническом уравнении центральной гиперповерхности второго порядка $p=n$ , $\operatorname {sgn} {\frac {\det B}{\det A}}=-1$ , гиперповерхность $S$ называется $(n-1)$ -мерным эллипсоидом.

Каноническое уравнение такого эллипсоида записывают в виде ${\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+\dots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1$ . Если $a_{1}=a_{2}=\dots =a_{n}=R$ , то $(n-1)$ -мерный эллипсоид представляет собой сферу радиуса $R$ в $n$ -мерном пространстве.

2. Если $p=n$ , $\operatorname {sgn} {\frac {\det B}{\det A}}=1$ , гиперповерхность является мнимой и называется мнимым эллипсоидом.

3. Если $\operatorname {sgn} {\frac {\det B}{\det A}}=0$ , центральные гиперповерхности называются в этом случае вырожденными. Вырожденный эллипсоид отвечает значениям $p=0$ и $p=n$ ^[9].

В таблице приведены формулы для вычисления площадей и объёмов эллипсоидов вращения^[10].

Поверхность	Ось	Площадь	Объём
Сжатый (сплюснутый) эллипсоид вращения (сфероид)	Ось $2a>2b$ , $\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ ; вращение вокруг малой оси	$2\pi a^{2}+\pi {\frac {b^{2}}{\varepsilon }}\ln {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}$	${\frac {4}{3}}\pi a^{2}b$
Вытянутый эллипсоид вращения	Ось $2a>2b$ , $\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ ; вращение вокруг большой оси	$2\pi b^{2}+2\pi {\frac {ab}{\varepsilon }}\arcsin \varepsilon$	${\frac {4}{3}}\pi ab^{2}$
Сфера радиуса $r$		$4\pi r^{2}$	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка

Инвариантом общего уравнения $\sum _{j,\,k=1}^{n}a_{jk}x_{j}x_{k}+2\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}+c=0$ гиперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогональные называют такую функцию $f(a_{11},a_{12},\dots ,a_{nn},b_{1},\dots ,b_{n},c)$ коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется при указанных преобразованиях пространства.

Теорема

Инвариантами общего уравнения $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})+2B({\boldsymbol {x}})+c=0$ гиперповерхности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы $A$ квадратичной формы $A({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}})$ и определитель $\det B$ матрицы $B=\left({\begin{matrix}a_{11}&\dots &a_{1n}&b_{1}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}&b_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}&c\end{matrix}}\right)$ . В частности, инвариантами являются $\det A$ и след $a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$ матрицы $A=\left({\begin{matrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{matrix}}\right)$ ^[11].

↑ Иванов А. Б. Эллипсоид//Математическая энциклопедия. — М., 1984. — Т. 5. — С. 978.
↑ Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М., 2006. — С. 241.
↑ Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 2006. — С. 89.
↑ Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М., 2006. — С. 243.
↑ Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — 1979, М. — С. 203.
↑ Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М., 2006. — С. 242.
↑ Эллипсоид//Математический энциклопедический словарь. — М., 1988. — С. 649—650.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — М., 1999. — С. 211—212.
↑ ¹ ² Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — М., 1999. — С. 223—224.
↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М., 1973. — С. 48.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М., 1999. — С. 218.

Иванов А. Б. Эллипсоид//Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5. — С. 978. — 1248 с.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Издательство «Астрель», 2006. — 991 с.
Математический энциклопедический словарь / под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 720 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / под ред. И. Г. Арамановича. — М.: Издательство Наука, 1973. — 832 с.
Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Проспект, 2012. — 400 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов - 4-е изд. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 296 с. — ISBN 5-02-015235-8.
Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1979. — 511 с.
Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : учебник для вузов. – 11-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 312 с. — ISBN 5-9221-0691-0.

[:0-1] Иванов А. Б. Эллипсоид//Математическая энциклопедия. — М., 1984. — Т. 5. — С. 978.

[2] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М., 2006. — С. 241.

[3] Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М., 2006. — С. 89.

[4] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М., 2006. — С. 243.

[5] Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — 1979, М. — С. 203.

[6] Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М., 2006. — С. 242.

[7] Эллипсоид//Математический энциклопедический словарь. — М., 1988. — С. 649—650.

[8] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — М., 1999. — С. 211—212.

[:1-9] ¹ ² Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — М., 1999. — С. 223—224.

[10] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М., 1973. — С. 48.

[11] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М., 1999. — С. 218.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Эллипсоид

Определения

Эллипсоид вращения

Определение 1

Определение 2

Теорема (об уравнении поверхности вращения)

Виды эллипсоидов вращения

Мнимый эллипсоид

Трёхосный эллипсоид

Сечение эллипсоида

Симметрия эллипсоида

Поверхности второго порядка

Гиперповерхность второго порядка

Центральные поверхности

Каноническое уравнение центральной гиперповерхности второго порядка

Классификация центральных гиперповерхностей

Основные формулы

Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка

Теорема

Примечания

Литература

Категории