Конформное отображение

Термин конформный образован из латинского conformare (сообщать стройный вид, надлежащую форму). Впервые термин появился как «конформная проекция» (projectio conformis) в картографической работе (1788) Федора Ивановича Шуберта, академика Российской академии наук и предка С. В. Ковалевской. Независимо от него этот же термин ввёл К. Гаусс (1843). Термин выражает существенное свойство отображения: подобие в бесконечно малых частях (con, означающее совместность, и forme).

Если не считать стереографической проекции на плоскость у Птолемея (ок. 150 г. н. э.), то до Гаусса конформное отображение встречается в статье Л. Эйлера «De representatione superficiei sphaericae super plano» (1777). Он называл это отображение «подобием в малом» и вывел условие конформности. Кроме того, Лагранж создал теорию конформного отображения поверхностей вращения на плоскость (1779). Но только Гаусс создал общую теорию, исходящую из теории функций комплексной переменной (1822).

Теорема о том, что произвольную односвязную область можно конформно отобразить на круг, впервые опубликована Б. Риманом (1851). Многочисленные попытки дать строгое доказательство теоремы Римана, предпринятые А. Пуанкаре, К. Каратеодори и другими, увенчались успехом только в 1900 г. Такое доказательство было дано В. Осгудом^[2].

Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений конформных отображений в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории конформных отображений как большого раздела теории аналитических функций^[3].

Непрерывное отображение ${\displaystyle w=f(z)}$ области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ называется конформным в точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, если оно в этой точке обладает свойством постоянства растяжений и сохранения углов^[1].

• Непрерывное отображение области ${\displaystyle D}$ называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области. По определению, конформное отображение области ${\displaystyle D}$ обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках ${\displaystyle D}$, и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в её внутренних точках.
• Отображение ${\displaystyle w=f(z)}$ является конформным в области ${\displaystyle D}$ конечной комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ тогда и только тогда, когда функция ${\displaystyle f(z)}$ является аналитической в ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ в ${\displaystyle D}$^[1].

Свойство постоянства растяжений в точке ${\displaystyle z_{0}}$ при отображении ${\displaystyle w=f(z)}$ состоит в том, что отношение ${\displaystyle k(z,z_{0};f)={\frac {|f(z)-f(z_{0})|}{|z-z_{0}|}}}$ расстояния между ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle f(z_{0})}$ к расстоянию между ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z_{0}}$ стремится к некоторому конечному пределу ${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}k(z,z_{0};f)=k(z_{0},f)}$, когда ${\displaystyle z}$ стремится к ${\displaystyle z_{0}}$ произвольным образом. Число ${\displaystyle k(z_{0},f)}$ называется коэффициентом растяжения в точке ${\displaystyle z_{0}}$ при рассматриваемом отображении.

Свойство сохранения углов или свойство консерватизма в точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$ при отображении ${\displaystyle w=f(z)}$ состоит в том, что любая пара непрерывных кривых ${\displaystyle \gamma _{1}}$, ${\displaystyle \gamma _{2}}$, расположенных в ${\displaystyle D}$ и пересекающихся в точке ${\displaystyle z_{0}}$ под некоторым углом ${\displaystyle \alpha }$ (то есть имеющих касательные в точке ${\displaystyle z_{0}}$, образующие между собой угол ${\displaystyle \alpha }$), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых ${\displaystyle \Gamma _{1}}$, ${\displaystyle \Gamma _{2}}$, пересекающихся в точке ${\displaystyle w_{0}=f(z_{0})}$ под тем же углом ${\displaystyle \alpha }$.

Если отображение ${\displaystyle w=f(z)}$ является конформным в точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, то углы между кривыми в точке ${\displaystyle z_{0}}$ при этом отображении либо все сохраняют свою абсолютную величину и направление отсчёта, либо все сохраняют свою абсолютную величину, изменяя направление отсчёта на противоположное.

Отображения, при которых углы сохраняют свою абсолютную величину и направление отсчёта называют конформными отображениями 1-го рода.

Отображения, которые оставляют неизменной величину, но не ориентацию углов между двумя кривыми (отображения с переворотом углов), называются конформными отображениями 2-го рода.

В случае аналитичности ${\displaystyle f(z)}$ в некоторой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ следующие три свойства эквивалентны:

• отображение ${\displaystyle w=f(z)}$ конформно (1-го рода) в точке ${\displaystyle z_{0}}$;

• функция ${\displaystyle f(z)}$ — однолистная функция в некоторой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$;
• ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$.

Всякая однолистная аналитическая в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ совершает конформное отображение области ${\displaystyle D}$ на область ${\displaystyle f(D)}$ той же связности; при этом обратная функция ${\displaystyle f^{-1}(z)}$ является в области ${\displaystyle f(D)}$ однолистной аналитической функцией с ненулевой производной^[4].

Задача построения отображения, которое ставит в соответствие односвязной области ${\displaystyle G_{1}}$, односвязную область ${\displaystyle G_{2}}$, решается на основе теоремы Римана об отображении. Для каждой (открытой) односвязной области ${\displaystyle G}$ в плоскости ${\displaystyle z}$ , кроме всей плоскости ${\displaystyle z}$ и плоскости ${\displaystyle z}$, из которой удалена одна точка, существует конформное отображение ${\displaystyle w=f(z)}$, которое устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками области ${\displaystyle G}$ и внутренними точками единичного круга ${\displaystyle |w|<1}$; при этом аналитическая функция определена единственным образом, если задан образ точки ${\displaystyle z_{0}}$ области ${\displaystyle G}$ и угол поворота любой кривой, проходящей через эту точку, то есть ${\displaystyle f(z_{0})=w_{0}}$ и ${\displaystyle \arg f'(z_{0})=\alpha }$, где ${\displaystyle w_{0}}$ и ${\displaystyle \alpha }$ — заданные величины^[5].

На рисунках представлены графики сеток на плоскости (изотермические сетки), которые преобразуются в декартову систему координат нa плоскости ${\displaystyle w}$. Штриховкой на рисунках отмечены контуры тех областей плоскости ${\displaystyle z}$, которые отображаются на верхнюю полуплоскость ${\displaystyle w}$, а чёрным отмечена область, переходящая в квадрат с вершинами ${\displaystyle (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}$.

• На рисунке 1 изображена инверсия ${\displaystyle w={1 \over z}}$ . Точка ${\displaystyle z=|z|e^{i\varphi }}$ переходит в точку ${\displaystyle w={1 \over |z|}e^{-i\varphi }}$ , то есть осуществляется инверсия относительно единичного круга и зеркальное отображение относительно действительной оси. Внутренность единичного круга ${\displaystyle |z|\leqslant 1}$ переводится во внешнюю часть круга ${\displaystyle |w|\leqslant 1}$, и наоборот. Сама окружность ${\displaystyle |z|=1}$ переходит в окружность ${\displaystyle |w|=1}$. Точки ${\displaystyle z=-1}$ и ${\displaystyle z=1}$ остаются на месте. Конформность нарушается в точке ${\displaystyle z=0}$. Это отображение имеет особое значение, так как оно дает возможность исследовать поведение функций на бесконечности.

Рис. 1

• Квадратичная функция ${\displaystyle w=z^{2}}$ отображает плоскость ${\displaystyle z}$ на двойную плоскость ${\displaystyle w}$. Изотермическая сетка плоскости ${\displaystyle z}$ состоит из двух семейств гипербол: ${\displaystyle u=x^{2}-y^{2}}$ и ${\displaystyle v=xy}$ (Рис. 2). Конформность нарушается при ${\displaystyle z=0}$, точки ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ остаются на месте.

Рис. 2

• Две ветви функции ${\displaystyle w={\sqrt {z}}}$ отображают всю плоскость ${\displaystyle z}$: 1) на верхнюю полуплоскость ${\displaystyle w}$; 2) на нижнюю полуплоскость ${\displaystyle w}$. Изотермическая сетка плоскости ${\displaystyle z}$ состоит из двух семейств софокусных парабол с фокусом в начале координат и с осями, направленными по положительному и отрицательному направлениям действительной оси (Рис. 3). Конформность нарушается при ${\displaystyle z=0}$, точки ${\displaystyle z=0}$ u ${\displaystyle z=1}$ остаются на месте.

Рис. 3

• Логарифм бесконечно многозначен. Для главной ветви функции ${\displaystyle w=\ln z}$ (${\displaystyle u=\ln |z|}$ и ${\displaystyle v=\varphi _{0}+2k\pi }$) вся плоскость ${\displaystyle z}$ переходит в полосу ${\displaystyle -\pi <v\leqslant +\pi }$ плоскости ${\displaystyle w}$. Изотермическая сетка состоит из окружностей ${\displaystyle \ln |z|={\mathsf {const}}}$ и лучей ${\displaystyle \varphi ={\mathsf {const}}}$ , то есть является полярной сеткой (Рис. 4).

Рис. 4

В теории плоских конформных отображений и её приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях — вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций.

Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана об отображении.

Вторая задача для некоторых областей специального вида решается применением элементарных функций комплексного переменного; принципа симметрии; формулы Кристоффеля — Шварца для отображения полуплоскости или круга на многоугольник; приближённых методов конформного отображения; численных методов и комбинаций этих приёмов^[4].

Конформное отображение применяется в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (карте) с сохранением величин всех углов. Примеры таких конформных отображений – стереографическая проекция и проекция Меркатора. Особое место занимают конформные отображения одних областей плоскости на другие — эта теория имеет существенные приложения в аэро- и гидромеханике плоских течений, электростатике, магнитостатике и теории упругости. Это понятие применяется в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики, прежде всего при решении первой краевой задачи для уравнений Лапласа (задачи Дирихле) и уравнений Пуассона. Решение многих важных задач легко получается, когда область, для которой ставится задача, имеет достаточно простой вид (например, круг или полуплоскость). Если задача ставится для более сложной области, то оказывается достаточным конформно отобразить простейшую область на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский, создавая теорию крыла самолёта^[3].