Равнобедренный прямоугольный треугольник

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным.

В этом треугольнике каждый внутренний угол равен 45°:

\alpha =\beta =45^{\circ }={\frac {\pi }{4}}\!\,,

третий внутренний угол — прямой:

\gamma =180^{\circ }-2\alpha =90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}\!\,,

Внутренние углы имеют соотношение 1 : 1 : 2.

Каждая боковая сторона равна^[1]:

a=b={\frac {c{\sqrt {2}}}{2}}\!\,,

а основание равно:

c=a{\sqrt {2}}\!\,,

стороны соотносятся как 1 : 1 : √2. Боковые стороны являются катетами, основание — гипотенузой.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна её половине:

h_{c}={\frac {a{\sqrt {2}}}{2}}={\frac {c}{2}}=R\!\,,

Периметр равнобедренного прямоугольного треугольника равен

P=a+b+c=a(2+{\sqrt {2}})\!\,.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна^[2]

S={\frac {a^{2}}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\!\,.

Также площадь равнобедренного прямоугольного треугольника можно выразить при помощи формулы Герона:

S={\sqrt {p(p-a)^{2}(p-a{\sqrt {2}})}}\!\,,

где p — полупериметр равнобедренного прямоугольного треугольника:

p={\frac {P}{2}}=a\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!\,.

Равнобедренный прямоугольный треугольник, как и все треугольники, является бицентрическим. В нём:

$r\!\,$	$R\!\,$	$a\!\,$	$c\!\,$
$R\left({\sqrt {2}}-1\right)={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)={\frac {c}{2}}\left({\sqrt {2}}-1\right)\!\,$	${\frac {r}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}\!\,$	${\frac {2r}{2-{\sqrt {2}}}}=R{\sqrt {2}}={\frac {c}{2}}{\sqrt {2}}\!\,$	${\frac {2r}{{\sqrt {2}}-1}}=2R=a{\sqrt {2}}\!\,$

Здесь r — радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности, a — катеты и c — гипотенуза треугольника.

Расстояние между центрами вписанной и вписанной окружности d равен радиусу вписанной окружности r и задается уравнением Эйлера:

d^{2}=R(R-2r)={\frac {a^{2}}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\!\,

d=r={\frac {a}{2}}\left(2-{\sqrt {2}}\right)=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(3-2{\sqrt {2}}\right)}}\approx 0,2928932\,a\!\,.

Равнобедренный треугольник, имеющий равные описанную и вписанную окружность и одинаковые расстояния между их центрами ( $d=r\,$ ), имеет углы:

\alpha =\beta =\operatorname {arc\,tg} {\frac {4-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {8{\sqrt {2}}-11}}}}\approx 72,968751^{\circ }\!\,,

\gamma =180^{\circ }-2\alpha \approx 34,062496^{\circ }\!\,.

Прямоугольный равнобедренный треугольник является одним из трех треугольников, которые покрывают евклидову плоскость. Только равносторонними треугольниками (треугольник 60-60-60), который является правильным многоугольником, можно правильно покрыть плоскость. Третий треугольник, который неправильно покрывает плоскость, представляет собой прямоугольный треугольник 30-60-90. Эти три треугольника — треугольники Мёбиуса, что означает, что они покрывают плоскость, не перекрываясь, зеркалируя их стороны (см. Треугольная группа).

Полиформы, основными фигурами которых являются равнобедренные прямоугольные треугольники, — это поляболы.

Пять равнобедренных прямоугольных треугольников вместе с одним квадратом и одним параллелограммом образуют головоломку пазл.

↑ Зарубин В. В. Треугольник, и использование его в некоторых задачах //Электронный периодический рецензируемый научный журнал «SCI-ARTICLE. RU». – 2018. – С. 16.
↑ Геометрия : 10-11-й классы : учебник для общеобразовательных организаций : базовый и углубленный уровни / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 8-е издание. - Москва : Просвещение, 2020. - 2

Периметр