Вневписанная окружность

Здесь используются обозначения: ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$ — радиусы вневписанных окружностей с центрами ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$, касающиеся соответственно сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника; ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника; ${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности; ${\displaystyle R}$ — радиус описанной окружности.

• Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
• Площадь треугольника ${\displaystyle S=r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},}$ последнее равенство по формуле Герона^[1].
• ${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}$
• ${\displaystyle 4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r}$
• Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника ${\displaystyle \Delta I_{1}I_{2}I_{3}}$
• Барицентрические координаты ${\displaystyle J_{A}=(-a,b,c)}$
• Теорема Эйлера для вневписанных окружностей: ${\displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i}}$, где O — центр описанной окружности.
• ${\displaystyle r_{a}r_{b}=p(p-c);rr_{a}=(p-b)(p-c)}$
• Радикальный центр вневписанных окружностей — центр Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
• Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
• Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
• Три центра трёх вневписанных окружностей данного треугольника образуют треугольник трёх внешних биссектрис.
• Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (следствие теорем о вершинах подерного треугольника^[2]).
• На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки.
• Последнее можно сформулировать так. Если 2 вневписанные окружности треугольника касаются 2 его разных сторон и 2 их продолжений в 4 точках касания, то образуемый 4 последними точками, как вершинами, четырёхугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны 2 боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к 2 окружностям).

Чтобы построить вневписанную окружность треугольника нужно^[3]:

1. построить внешние углы для углов треугольника;
2. провести биссектрисы построенных внешних углов до точки их пересечения. Точка пересечения биссектрис будет центром вневписанной окружности;
3. построить радиус окружности. Для этого провести перпендикуляр из точки пересечения биссектрис на продолжения одной из сторон;
4. провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине построенного перпендикуляра.