Двумерное пространство

Представление о плоскости как о самостоятельном предмете изучения сложилось в древнегреческой математике. В «Началах» Евклида (около 300 года до н. э.) первые шесть книг посвящены планиметрии и строятся аксиоматически: из определений, постулатов и общих понятий выводятся свойства фигур. Числовые координаты при этом не используются вовсе — величины сравниваются геометрически, отношения трактуются в духе теории Евдокса^[5].

Пятый постулат — о параллельных — с самого начала вызывал сомнения в своей независимости; попытки вывести его из остальных продолжались более двух тысячелетий и в конечном счёте привели к открытию неевклидовой геометрии^[6].

Решающий поворот произошёл в 1637 году, когда Р. Декарт в приложении «Геометрия» к «Рассуждению о методе» связал геометрические задачи с алгебраическими, поставив в соответствие точке плоскости пару чисел. Независимо и несколько ранее сходные идеи развивал П. Ферма. Именно тогда двумерность плоскости получила точное числовое выражение: два числа — не больше и не меньше^[7].

Заметим, что декартовы координаты в современном виде (две перпендикулярные оси с отрицательными значениями) у самого Декарта ещё не встречаются: он пользовался одной осью и отрезками, отложенными под фиксированным углом. Привычный вид система приобрела к концу XVII века.

Геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости предложил в 1799 году датский землемер К. Вессель, в 1806 году независимо — Ж. Р. Арган, но общее признание идея получила лишь после работ К. Ф. Гаусса 1831 года^[8]. Плоскость впервые стала носителем алгебраической структуры поля^[9].

В 1826—1832 годах Н. И. Лобачевский и Я. Бойяи независимо построили геометрию, в которой пятый постулат не выполняется. Стало ясно, что «плоскость» — не единственно возможное двумерное геометрическое пространство^[10].

Параллельно Гаусс в мемуаре 1827 года о кривых поверхностях ввёл понятие внутренней геометрии и доказал Theorema Egregium, а Б. Риман в лекции 1854 года «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» распространил эти идеи на произвольное число измерений, задав общее понятие многообразия с метрикой^[8].

В 1872 году Ф. Клейн в Эрлангенской программе предложил классифицировать геометрии по группам преобразований, сохраняющих их свойства: евклидова плоскость отвечает группе движений, аффинная — группе аффинных преобразований, проективная — проективной группе^[8]. Этот взгляд объединил разрозненные плоские геометрии в единую схему^[11].

Открытия Кантора (1877) и Пеано (1890) показали, что интуитивное понятие размерности нуждается в строгом определении: ни мощность, ни существование непрерывной сюръекции размерность не определяют. Проблему решил Брауэр, доказав в 1911 году инвариантность размерности относительно гомеоморфизмов. В 1920-х годах Урысон и Менгер построили общую теорию размерности для метрических пространств^[12].

Тогда же оформилась топология поверхностей: классификация замкнутых поверхностей, намеченная в XIX веке А. Ф. Мёбиусом и К. Жорданом, получила строгое обоснование после теоремы Радо о триангулируемости (1925).

В 1944 году Л. Онсагер нашёл точное решение двумерной модели Изинга — первый пример строго решённой статистической модели с фазовым переходом; критическая температура определяется из условия ${\displaystyle \operatorname {sh} (2J/kT_{c})=1}$, откуда ${\displaystyle kT_{c}/J=2/\ln(1+{\sqrt {2}})\approx 2{,}269}$^[13]. В 1976 году доказана теорема о четырёх красках^[14]. В 2004 году получен графен — физическая реализация двумерного кристалла^[15].

Векторное пространство ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ называется двумерным, если в нём существует базис из двух векторов, то есть система ${\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}}$, которая линейно независима и порождает всё пространство. Тогда всякий вектор представим единственным образом:

${\displaystyle v=\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2},\qquad \lambda _{1},\lambda _{2}\in K.}$

Число элементов базиса не зависит от его выбора; это утверждение (теорема о размерности) доказывается с помощью леммы о замене^[16]. Любые два двумерных пространства над одним полем изоморфны; в частности, всякое двумерное вещественное пространство изоморфно координатному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Существенно, что размерность зависит от поля скаляров. Множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ двумерно над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (базис ${\displaystyle \{1,i\}}$), но одномерно над самим собой (базис ${\displaystyle \{1\}}$). Ещё нагляднее это на примере ${\displaystyle \mathbb {R} }$ как пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$: там размерность бесконечна (базис Гамеля)^[17].

Для топологического пространства используется размерность Лебега (размерность покрытий): пространство ${\displaystyle X}$ имеет размерность ${\displaystyle \leqslant n}$, если всякое его конечное открытое покрытие можно вписать в покрытие кратности не выше ${\displaystyle n+1}$. Плоскость двумерна в этом смысле: её можно покрыть «паркетом» так, что в каждой точке сходится не более трёх элементов покрытия, но нельзя обойтись двумя^[18].

Наряду с ней применяются индуктивные размерности ${\displaystyle \operatorname {ind} }$ и ${\displaystyle \operatorname {Ind} }$, введённые П. С. Урысоном и К. Менгером: размерность определяется рекурсивно через размерность границ окрестностей. Для сепарабельных метрических пространств все три определения совпадают^[19].

Ключевой факт — инвариантность размерности: пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ гомеоморфны лишь при ${\displaystyle n=m}$. Это утверждение доказал в 1911 году Л. Э. Я. Брауэр^[20]. До него казалось правдоподобным, что размерность определяется мощностью, — но в 1877 году Г. Кантор построил биекцию между отрезком и квадратом, показав, что множества точек прямой и плоскости равномощны^[21]. Затем оказалось, что размерность не сохраняется и при непрерывных сюръекциях: Дж. Пеано в 1890 году построил непрерывную кривую, проходящую через все точки квадрата^[22]. Таким образом, для сохранения размерности требуется именно гомеоморфизм — взаимная однозначность и непрерывность в обе стороны.

Двумерное многообразие (поверхность) — хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому кругу плоскости. Такое определение выражает идею «локальной двумерности»: наблюдатель, находящийся на поверхности и не выходящий за пределы малой окрестности, не может отличить её от куска плоскости^[23]. Для аффинного пространства размерность определяется как размерность связанного с ним векторного пространства переносов; двумерное аффинное пространство — это плоскость без выделенного начала координат.

• Координатное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с базисом ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ — стандартная модель, к которой изоморфно любое вещественное двумерное пространство.
• Поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как пространство над ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Пространство многочленов степени не выше первой ${\displaystyle \{a+bt\}}$ с базисом ${\displaystyle \{1,t\}}$.
• Пространство решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, например ${\displaystyle y''+y=0}$; его базис образуют ${\displaystyle \sin t}$ и ${\displaystyle \cos t}$, а линейная независимость следует из отличия от нуля определителя Вронского^[24].
• Пространство вещественных матриц вида ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$, изоморфное ${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• Любая плоскость, проходящая через начало координат в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, — двумерное подпространство; таких подпространств бесконечно много, и все они между собой изоморфны.
• Сопряжённое пространство ${\displaystyle V^{*}}$ к двумерному пространству также двумерно.

Эти примеры показывают, что двумерность — характеристика алгебраической структуры, а не «толщины» или «плоскостности» объекта.

Если на двумерном вещественном пространстве задана симметричная билинейная форма, положительно определённая, получается евклидова плоскость со скалярным произведением; в ортонормированном базисе оно принимает вид ${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}$. Форма сигнатуры ${\displaystyle (1,1)}$ даёт двумерное пространство Минковского — модель специальной теории относительности с одним пространственным и одним временным измерением, используемую, в частности, при описании мирового листа струны.

Задание нормы превращает пространство в нормированное. На плоскости употребительны нормы ${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}\right)^{1/p}}$ при ${\displaystyle p\geqslant 1}$ и ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max(|x_{1}|,|x_{2}|)}$: единичный шар нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ — квадрат с вершинами на осях, нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ — круг, нормы ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ — квадрат со сторонами, параллельными осям. Все нормы на конечномерном пространстве эквивалентны, поэтому порождают одну и ту же топологию и один и тот же запас сходящихся последовательностей; всякое конечномерное нормированное пространство полно, то есть является банаховым, а его единичный шар компактен — свойство, которым бесконечномерные пространства не обладают^[25].

Двумерные подпространства естественно возникают в функциональном анализе. В гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}[-\pi ,\pi ]}$ линейная оболочка пары ${\displaystyle \{\sin t,\cos t\}}$ — двумерное подпространство; проекция функции на него даёт первую гармонику её ряда Фурье. Двумерны также линейные оболочки любых двух многочленов Лежандра и вообще любой пары линейно независимых функций^[26].

Такие подпространства не «плоские» ни в каком наглядном смысле — их элементами служат функции, — но с точки зрения линейной структуры они неотличимы от ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Именно это обстоятельство позволяет решать задачи о наилучшем приближении в двумерном подпространстве средствами элементарной геометрии.

Линейные отображения двумерного пространства в себя в фиксированном базисе задаются матрицами ${\displaystyle 2\times 2}$; пространство таких отображений четырёхмерно. Определитель матрицы линейного отображения равен коэффициенту изменения площади при этом отображении, а знак определителя показывает, сохраняет ли отображение ориентацию (положительный определитель — сохраняет, отрицательный — меняет).

Ортогональная группа ${\displaystyle O(2)}$ состоит из матриц, сохраняющих скалярное произведение; она распадается на повороты (определитель ${\displaystyle +1}$) и отражения (определитель ${\displaystyle -1}$). Группа поворотов ${\displaystyle SO(2)}$ изоморфна группе комплексных чисел, по модулю равных единице, и, как группа Ли, одномерна, хотя действует на двумерном пространстве^[27].

Произвольное невырожденное линейное отображение плоскости переводит единичную окружность в эллипс, полуоси которого равны сингулярным числам матрицы отображения (окружность радиуса r переходит в эллипс с полуосями rσ₁ и rσ₂; при σ₁ = σ₂ образ снова является окружностью). Отсюда наглядная классификация: всякое сохраняющее ориентацию линейное преобразование плоскости есть композиция поворота, растяжения вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений и ещё одного поворота; преобразования, меняющие ориентацию, отличаются от таких композиций одним зеркальным отражением^[28].

Классическое построение планиметрии восходит к «Началам» Евклида, где плоскость описывается аксиомами без привлечения чисел. Современная строгая система аксиом плоской геометрии предложена Д. Гильбертом в «Основаниях геометрии» (1899): группы аксиом принадлежности, порядка, конгруэнтности, непрерывности и параллельности^[29].

Альтернативный путь — аналитический: плоскость определяется как множество пар вещественных чисел с расстоянием

${\displaystyle \rho \left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right)={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}$

Оба подхода приводят к одной и той же геометрии; переход от первого ко второму осуществляется введением координат^[30].

Наиболее употребительны:

• прямоугольная (декартова): точка задаётся абсциссой и ординатой — проекциями на две взаимно перпендикулярные оси;
• полярная: точка задаётся расстоянием до полюса ${\displaystyle r\geqslant 0}$ и углом ${\displaystyle \varphi }$, отсчитываемым от полярной оси против часовой стрелки; связь с декартовыми — ${\displaystyle x=r\cos \varphi }$, ${\displaystyle y=r\sin \varphi }$;
• косоугольная (аффинная): координатные оси не перпендикулярны, что удобно, например, при работе с решётками;
• криволинейные — эллиптические, параболические, биполярные, применяемые для разделения переменных в краевых задачах;
• Барицентрические координаты, естественные для задач, связанных с треугольником.

На сфере аналогичную роль играет географическая координатная система — широта и долгота.

Многоугольник — плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной. В отличие от трёхмерного пространства, где правильных многогранников всего пять, на плоскости правильных многоугольников бесконечно много: для каждого ${\displaystyle n\geqslant 3}$ существует ровно один правильный ${\displaystyle n}$-угольник с точностью до подобия. Его обозначают символом Шлефли ${\displaystyle \{n\}}$; внутренний угол равен ${\displaystyle {\dfrac {(n-2)\pi }{n}}}$^[31].

Название	треугольник (2-симплекс)	квадрат (2-куб и 2-октаэдр)	пятиугольник	шестиугольник	семиугольник	восьмиугольник
Символ Шлефли	${\displaystyle \{3\}}$	${\displaystyle \{4\}}$	${\displaystyle \{5\}}$	${\displaystyle \{6\}}$	${\displaystyle \{7\}}$	${\displaystyle \{8\}}$
Вид
Название	девятиугольник	десятиугольник	одиннадцатиугольник	двенадцати- угольник	тринадцати- угольник	четырнадцати- угольник
Символ Шлефли	${\displaystyle \{9\}}$	${\displaystyle \{10\}}$	${\displaystyle \{11\}}$	${\displaystyle \{12\}}$	${\displaystyle \{13\}}$	${\displaystyle \{14\}}$
Вид
Название	пятнадцати- угольник	шестнадцати- угольник	семнадцатиугольник	восемнадцати- угольник	девятнадцати- угольник	двадцатиугольник
Символ Шлефли	${\displaystyle \{15\}}$	${\displaystyle \{16\}}$	${\displaystyle \{17\}}$	${\displaystyle \{18\}}$	${\displaystyle \{19\}}$	${\displaystyle \{20\}}$
Вид

Кроме выпуклых существуют правильные звёздчатые многоугольники ${\displaystyle \{p/q\}}$, где ${\displaystyle 1<q<p/2}$ и ${\displaystyle q}$ взаимно просто с ${\displaystyle p}$; их число при данном ${\displaystyle p}$ равно ${\displaystyle \varphi (p)/2-1}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера. Простейший из них — пентаграмма ${\displaystyle \{5/2\}}$^[31].

Гиперсферой двумерного евклидова пространства служит окружность — множество точек, равноудалённых от центра. Её называют также 1-сферой ${\displaystyle S^{1}}$, поскольку сама она одномерна. Длина окружности радиуса ${\displaystyle r}$ равна ${\displaystyle 2\pi r}$, а площадь ограниченного ею круга —

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Из всех замкнутых кривых заданной длины ${\displaystyle L}$ наибольшую площадь ограничивает именно окружность; количественно это выражает изопериметрическое неравенство ${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A}$, обращающееся в равенство только для круга^[32].

Движения евклидовой плоскости исчерпываются четырьмя типами: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия и скользящая симметрия. Дискретные группы движений, содержащие два неколлинеарных переноса, называются группами орнамента; их ровно семнадцать. Полный вывод впервые получил в 1891 году Е. С. Фёдоров (одновременно с А. Шёнфлисом, с которым Фёдоров активно обменивался результатами)^[33][34]; независимое доказательство дал в 1924 году Д. Пойа^[35].

Соответствующих решёток Браве на плоскости пять: косоугольная, прямоугольная, центрированная прямоугольная, квадратная и гексагональная. Кристаллографическое ограничение допускает лишь оси симметрии порядков 1, 2, 3, 4 и 6: условие того, что след матрицы поворота на угол ${\displaystyle 2\pi /n}$ есть целое число, даёт ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n)\in \mathbb {Z} }$, что выполняется только при этих ${\displaystyle n}$ (в частности, поворотов пятого порядка в решётке быть не может)^[35].

Правильно замостить плоскость одинаковыми правильными многоугольниками можно тремя способами — треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Гексагональная упаковка кругов плотнейшая: её плотность равна ${\displaystyle \pi /{\sqrt {12}}\approx 0{,}9069}$. Существуют и апериодические замощения, не обладающие трансляционной симметрией^[36].

Двумерные многообразия называют поверхностями. Т. Радо в 1925 году доказал, что всякая поверхность триангулируема, — в размерности 4 и выше аналогичное утверждение уже неверно^[37].

Отсюда следует полная классификация: всякая связная компактная поверхность без края гомеоморфна одной из поверхностей списка — сфере, связной сумме ${\displaystyle g}$ торов (ориентируемый случай, род ${\displaystyle g}$) или связной сумме ${\displaystyle k}$ проективных плоскостей (неориентируемый случай). Полными инвариантами служат ориентируемость и эйлерова характеристика

${\displaystyle \chi =V-E+F,}$

где ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ — числа вершин, рёбер и граней какой-либо триангуляции. Для сферы ${\displaystyle \chi =2}$, для тора ${\displaystyle \chi =0}$, для кренделя рода 2 ${\displaystyle \chi =-2}$, для ленты Мёбиуса ${\displaystyle \chi =0}$^[38][39][40].

Такая классификация — исключительное свойство размерности 2: в размерности 3 задача решена лишь после доказательства гипотезы Пуанкаре, а при ${\displaystyle n\geqslant 4}$ классификация замкнутых многообразий алгоритмически неразрешима.

Плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ связна, односвязна, локально компактна, но не компактна. Её одноточечная компактификация гомеоморфна сфере — этот факт лежит в основе понятия расширенной комплексной плоскости^[41].

Специфические для плоскости результаты:

• Теорема Жордана: простая замкнутая кривая разбивает плоскость ровно на две области, ограниченную и неограниченную, и является общей границей обеих. Утверждение кажется очевидным, но его строгое доказательство нетривиально^[42].
• Теорема Брауэра о неподвижной точке: всякое непрерывное отображение замкнутого круга в себя имеет неподвижную точку^[43].
• Теорема о четырёх красках: всякую карту на плоскости можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы соседние области были разного цвета. Доказана в 1976 году К. Аппелем и В. Хакеном с существенным использованием вычислительной техники^[14].
• Планарность: граф укладывается на плоскости тогда и только тогда, когда не содержит подграфа, гомеоморфного ${\displaystyle K_{5}}$ или ${\displaystyle K_{3,3}}$ (теорема Понтрягина — Куратовского). На торе укладываются графы, не укладывающиеся на плоскости^[44].

Для поверхности в трёхмерном пространстве определена Гауссова кривизна ${\displaystyle K}$ — произведение главных кривизн. Согласно блестящей теореме Гаусса (1827), она не меняется при изгибании поверхности без растяжения, то есть является величиной внутренней геометрии и может быть вычислена по одной лишь первой квадратичной форме^[45].

Формула Гаусса — Бонне связывает кривизну с топологией:

${\displaystyle \iint _{M}K\,dA+\oint _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M).}$

Для замкнутой поверхности граничный член отсутствует, и полная кривизна оказывается топологическим инвариантом: как бы ни изгибалась сфера, интеграл её кривизны равен ${\displaystyle 4\pi }$, а для тора он всегда равен нулю^[46].

Двумерный случай постоянно служит «полигоном» для проверки общих утверждений: он достаточно богат, чтобы явление проявилось, и достаточно прост для полного разбора. Классификация поверхностей, теория конформных отображений, теория групп орнамента доведены до полного списка именно в размерности 2, тогда как их многомерные аналоги остаются открытыми или неразрешимыми.

В вычислительной геометрии на плоскости решаются базовые задачи: построение выпуклой оболочки, диаграммы Вороного, триангуляции Делоне. Формула площади Гаусса («формула шнурования») позволяет вычислить площадь многоугольника по координатам вершин^[51]:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\right|.}$

Двумерные модели в физике играют двоякую роль: как упрощение, допускающее точное решение, и как описание реальных систем, в которых движение по третьему направлению заморожено.

• Плоская задача теории упругости и плоские течения в гидродинамике сводят трёхмерные уравнения к двумерным и решаются методами теории функций комплексного переменного.
• Колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением; собственные частоты круглой мембраны выражаются через нули функций Бесселя^[52].
• Двумерная модель Изинга — эталонный объект статистической физики; переход Березинского — Костерлица — Таулеса в двумерных системах не сопровождается нарушением симметрии и не имеет трёхмерного аналога^[53].
• Квантовый эффект Холла наблюдается в двумерном электронном газе; открытие графена и других двумерных кристаллов сделало «плоские» системы предметом экспериментальной физики^[54].
• Двумерное пространство Минковского служит простейшей моделью в специальной теории относительности и описывает мировой лист струны^[55].

Картографические проекции отображают сферическую поверхность Земли на плоскость; поскольку кривизна сферы отлична от нуля, по Theorema Egregium такое отображение неизбежно искажает либо углы, либо площади, либо расстояния — «идеальной» карты не существует^[56].

В компьютерной графике изображение хранится как двумерный массив пикселей, а плоские преобразования (поворот, масштабирование, сдвиг) реализуются матрицами ${\displaystyle 2\times 2}$ либо, в однородных координатах, матрицами ${\displaystyle 3\times 3}$, включающими и параллельный перенос. Двумерные решётки описывают структуру поверхностей кристаллов и слоистых материалов.