Формула Гаусса-Бонне

Формула доказывает, что как бы вы ни сжимали, ни растягивали и ни деформировали замкнутую поверхность (не разрывая её), интеграл от её гауссовой кривизны останется неизменным.

• K — гауссова кривизна поверхности.
• dA — элемент площади поверхности.
• x(M) — эйлерова характеристика поверхности (равна \(2 - 2g\), где \(g\) — род поверхности или «количество дырок»).

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей ${\displaystyle \partial \Omega }$. Обозначим через ${\displaystyle K}$ гауссову кривизну ${\displaystyle \Omega }$ и через ${\displaystyle k_{g}}$ геодезическую кривизну ${\displaystyle \partial \Omega }$. Тогда:

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{\partial \Omega }k_{g}\,ds=2\pi \chi (\Omega ),}$

где ${\displaystyle \chi (\Omega )}$ — эйлерова характеристика ${\displaystyle \Omega }$.

В частности, если у ${\displaystyle \Omega }$ нет границы, получаем:

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\,d\sigma =2\pi \chi (\Omega ).}$

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса-Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом^[1], Пьер Оссиан Бонне^[2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces. Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика^[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке^[4].

• Формула Гаусса-Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома ${\displaystyle P_{i}}$ касательный вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ разворачивается на угол ${\displaystyle \phi _{i}}$ в сторону области ${\displaystyle \Omega }$ (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:

  ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\int \limits _{L}k_{g}\,ds+\sum _{i}\phi _{i}=2\pi \chi (\Omega ).}$

• Обобщённая формула Гаусса-Бонне — обобщение формулы на старшие размерности.
• Неравенство Кон-Фоссена — обобщение на некомпактные поверхности.
• Теорема сравнения Топоногова уточняет следующее следствие формулы Гаусса-Бонне: любой треугольник на полной поверхности неотрицательной гауссовой кривизны имеет сумму углов хотя бы ${\displaystyle \pi }$.