Правильный шестиугольник

• Особенность правильного шестиугольника — равенство его стороны и радиуса описанной окружности (${\displaystyle R=t}$), поскольку ${\displaystyle 2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}$.
• Все углы равны 120°.
• Радиус вписанной окружности равен:

  ${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t}$

• Периметр правильного шестиугольника равен:

  ${\displaystyle P=6R=4{\sqrt {3}}r}$

• Площадь правильного шестиугольника рассчитывается по формулам:

  ${\displaystyle S={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}t^{2}}$

  ${\displaystyle S=2{\sqrt {3}}r^{2}}$

• Шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).
• Правильный шестиугольник со стороной ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ является универсальной покрышкой, то есть всякое множество диаметра 1 можно покрыть правильным шестиугольником со стороной ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ (лемма Пала)^[1].

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.

• Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
• Некоторые вещества из углерода (например, графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
• Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
• «Гексагоном» иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.
• Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
• Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
• Главные зеркала некоторых наземных и космических телескопов-рефлекторов составлены из плотно прилегающих друг к другу сегментов, имеющих форму правильного шестиугольника (например, Большой Канарский телескоп, LAMOST, телескопы Кека, космический телескоп «Джеймс Уэбб»).
• Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками. Под названием звезда Давида она является символом иудаизма.

Слева направо: Пчелиные соты; Графен — одна из аллотропных модификаций углерода; Гигантский гексагон; Главное зеркало телескопа «Джеймс Уэбб».