Изометрия (математика)

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — метрические пространства.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется изометрией, если

${\displaystyle |f(x)-f(x')|_{Y}=|x-x'|_{X}}$

для любых ${\displaystyle x,x'\in X}$. Здесь ${\displaystyle |x-x'|_{X}}$ обозначает расстояние между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle x'}$ в пространстве ${\displaystyle X}$.

• Изометрия является частным случаем преобразования подобия, соответственно биекцией^[2].
• Изометрия сохраняет углы между прямыми.
• Всякая изометрия плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом относительно некоторой точки, либо скользящей симметрией. Это утверждение известно, как Теорема Шаля.

В римановой геометрии изометрией называют диффеоморфизм между (псевдо)римановыми многообразиями, который сохраняет метрический тензор.