Пространство (математика)

В античной греческой математике «пространство» было геометрической абстракцией трёхмерной реальности, наблюдаемой в повседневной жизни. Около 300 года до н. э. Евклид сформулировал аксиомы свойств пространства. Евклид построил всю математику на этих геометрических основах, вплоть до определения чисел через сравнение длин отрезков с длиной выбранного эталонного отрезка.

Метод координат (аналитическая геометрия) был введён Рене Декартом в 1637 году^[2]. В то время геометрические теоремы рассматривались как абсолютные объективные истины, познаваемые через интуицию и разум, подобно объектам естественных наук^[3]; а аксиомы считались очевидными следствиями определений^[3].

Использовались два отношения эквивалентности между геометрическими фигурами: конгруэнтность и подобие. Параллельные переносы, повороты и отражения преобразуют фигуру в конгруэнтные фигуры; гомотетии — в подобные фигуры. Например, все окружности подобны друг другу, но эллипсы не подобны окружностям. Третье отношение эквивалентности, введённое Гаспаром Монжем в 1795 году, встречается в проективной геометрии: не только эллипсы, но и параболы и гиперболы превращаются в окружности при соответствующих проективных преобразованиях; все они проективно эквивалентны.

Связь между двумя геометриями — евклидовой и проективной^[3] — показывает, что математические объекты не даны нам со своей структурой^[3]. Напротив, каждая математическая теория описывает свои объекты через некоторые их свойства, именно те, которые положены в основу теории как аксиомы.^[3]

Расстояния и углы не могут появляться в теоремах проективной геометрии, поскольку эти понятия не упоминаются в аксиомах проективной геометрии и не определяются из них. Вопрос «чему равна сумма углов треугольника» имеет смысл в евклидовой геометрии, но не имеет смысла в проективной.

В XIX веке возникла иная ситуация: в некоторых геометриях сумма углов треугольника определена, но отличается от классического значения (180 градусов). Неевклидова гиперболическая геометрия, введённая Н. И. Лобачевским в 1829 году и Я. Бойяи в 1832 году (и К. Ф. Гауссом в 1816 году, не опубликовано)^[3] утверждала, что сумма зависит от треугольника и всегда меньше 180 градусов. Эудженио Бельтрами в 1868 году и Феликс Кляйн в 1871 году построили евклидовы «модели» неевклидовой гиперболической геометрии, тем самым полностью обосновав эту теорию как логическую возможность.^[3][4]

Это открытие заставило отказаться от претензий на абсолютную истину евклидовой геометрии. Оно показало, что аксиомы не являются «очевидными» или «следствиями определений», скорее являясь гипотезами.^[3]

Евклидова модель неевклидовой геометрии — это выбор некоторых объектов, существующих в евклидовом пространстве, и некоторых отношений между ними, удовлетворяющих всем аксиомам (и, следовательно, всем теоремам) неевклидовой геометрии.

Слово «геометрия» (от др.-греч. geo- «земля», -metron «измерение») изначально означало практический способ измерения длин, площадей и объёмов в пространстве, , но затем было расширено (как и понятие пространства).

По Бурбаки,^[3] период между 1795 годом (Géométrie descriptive Монжа) и 1872 годом (Эрлангенская программа Кляйна) можно назвать «золотым веком геометрии». Исходное пространство, исследованное Евклидом, называется трёхмерным евклидовым пространством. Его аксиоматизация, начатая Евклидом 23 века назад, была реформирована с помощью аксиом Гильберта, аксиом Тарского и аксиом Биркгофа. Эти системы аксиом описывают пространство через примитивные понятия, такие как «точка», «между», «конгруэнтно», ограниченные рядом аксиом.

Аналитическая геометрия достигла больших успехов и заменила теоремы классической геометрии вычислениями с помощью инвариантов групп преобразований.^[3] По словам Бурбаки,^[3] «утратив свою роль автономной и живой науки, классическая геометрия преобразилась в универсальный язык современной математики».

В эссе Рихарда Дедекинда 1872 года Stetigkeit und irrationale Zahlen («Непрерывность и иррациональные числа») утверждается, что точки на прямой должны обладать свойствами сечений Дедекинда, и, следовательно, прямая — то же самое, что множество вещественных чисел. Дедекинд подчёркивает, что это предположение, которое невозможно доказать. В современных трактовках утверждение Дедекинда часто принимается за определение прямой, тем самым сводя геометрию к арифметике. Трёхмерное евклидово пространство определяется как аффинное пространство, ассоциированное векторное пространство которого снабжено скалярным произведением.^[5] Определение «с нуля» редко используется в настоящее время, так как не раскрывает связь этого пространства с другими. Также трёхмерное проективное пространство в настоящее время определяется как множество всех одномерных подпространств (то есть прямых, проходящих через начало координат) четырёхмерного векторного пространства. Такой сдвиг в основаниях требует нового набора аксиом, и если эти аксиомы приняты, классические аксиомы геометрии становятся теоремами.

Пространство состоит из выбранных математических объектов (например, функций на другом пространстве, подпространств другого пространства или просто элементов множества), рассматриваемых как точки, и выбранных отношений между этими точками. Таким образом, пространства — это просто математические структуры, удобные для работы. Ожидаемо, что структуры, называемые «пространствами», воспринимаются более геометрически, чем другие математические объекты, но это не всегда так.

Согласно знаменитой вступительной лекции Бернхарда Римана 1854 года, любой математический объект, параметризуемый n вещественными числами, может рассматриваться как точка n-мерного пространства всех таких объектов^[3]. Современные математики регулярно следуют этой идее и считают чрезвычайно полезным использовать терминологию классической геометрии практически везде.^[3]

Хотя каждый тип пространства имеет своё определение, общая идея «пространства» ускользает от формализации. Одни структуры называют пространствами, другие — нет, без формального критерия. Более того, среди исследователей единого мнения и о понятии «структура». По мнению П. Пудлака,^[6] «Математику […] нельзя полностью объяснить с помощью единого понятия, такого как математическая структура. Тем не менее, структурный подход Бурбаки — лучшее, что у нас есть».

Пространства классифицируются на трёх уровнях. Поскольку каждая математическая теория описывает свои объекты через некоторые их свойства, первый вопрос — какие свойства? Это приводит к первому (верхнему) уровню классификации. На втором уровне учитываются ответы на особенно важные вопросы (среди тех, которые имеют смысл на первом уровне). На третьем уровне учитываются ответы на все возможные вопросы.

Например, верхнеуровневая классификация различает евклидовы и проективные пространства, поскольку расстояние между двумя точками определено в евклидовых пространствах, но не определено в проективных. Вопрос «чему равна сумма углов треугольника» имеет смысл в евклидовом пространстве, но не в проективном. В неевклидовом пространстве вопрос имеет смысл, но ответ другой, что не является верхнеуровневым различием.

Также различие между евклидовой плоскостью и трёхмерным евклидовым пространством не является верхнеуровневым; вопрос «какова размерность» имеет смысл в обоих случаях.

Второй уровень классификации различает, например, евклидовы и неевклидовы пространства; конечномерные и бесконечномерные пространства; компактные и некомпактные пространства и т. д. В терминах Бурбаки^[7], второй уровень классификации — это классификация по «видам». В отличие от биологической таксономии, пространство может принадлежать нескольким видам.

Третий уровень классификации различает, например, пространства разной размерности, но не различает плоскость трёхмерного евклидова пространства, рассматриваемую как двумерное евклидово пространство, и множество всех пар вещественных чисел, также рассматриваемое как двумерное евклидово пространство. Аналогично, не различаются разные евклидовы модели одного и того же неевклидова пространства. Более формально, третий уровень классифицирует пространства с точностью до изоморфизма. Изоморфизм между двумя пространствами определяется как взаимно однозначное соответствие между точками первого и второго пространства, сохраняющее все отношения, определённые на первом уровне. Взаимно изоморфные пространства считаются копиями одного пространства. Если одно из них принадлежит данному виду, то и все остальные тоже.

Понятие изоморфизма проливает свет на верхнеуровневую классификацию. Имея взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами одного верхнего уровня, возникает вопрос, является ли оно изоморфизмом. Этот вопрос не имеет смысла для пространств разных классов.

Изоморфизм пространства с самим собой называется автоморфизмом. Автоморфизмы евклидова пространства — это сдвиги, повороты, отражения и их композиции. Евклидово пространство однородно в том смысле, что любую точку можно преобразовать в любую другую с помощью автоморфизма.

Евклидовы аксиомы ъоднозначно определяют все геометрические свойства пространства. Точнее: все трёхмерные евклидовы пространства взаимно изоморфны. В этом смысле говорят о «трёхмерном евклидовом пространстве». В терминах Бурбаки соответствующая теория называется унитарной. В отличие от этого, топологические пространства обычно не изоморфны; их теория — мультивалентна. Похожая идея встречается в математической логике: теория называется категоричной, если все её модели одной мощности взаимно изоморфны. По Бурбаки^[8], изучение мультивалентных теорий — самая яркая черта, отличающая современную математику от классической.

Топологические понятия (непрерывность, сходимость, открытые и замкнутые множества и т. д.) определяются естественно в любом евклидовом пространстве. Иными словами, каждое евклидово пространство также является топологическим пространством. Каждый изоморфизм между двумя евклидовыми пространствами также является изоморфизмом между соответствующими топологическими пространствами (называется гомеоморфизмом), но обратное неверно: гомеоморфизм может искажать расстояния. В терминах Бурбаки^[7], «топологическое пространство» — это подлежащая структура для структуры «евклидово пространство». Похожие идеи встречаются в теории категорий: категория евклидовых пространств — конкретная категория над категорией топологических пространств; забывающий (или «раздевающий») функтор отображает первую категорию во вторую.

Трёхмерное евклидово пространство — частный случай евклидова пространства. В терминах Бурбаки^[7] вид трёхмерного евклидова пространства богаче, чем вид евклидова пространства. Аналогично, вид компактного топологического пространства богаче, чем вид топологического пространства.

Такие отношения между видами пространств удобно изображать диаграммами, как на рис. 3. Стрелка из A в B означает, что каждое A-пространство также является B-пространством, или может рассматриваться как B-пространство, или порождает B-пространство и т. д. Рассматривая A и B как классы пространств, можно интерпретировать стрелку как переход от A к B. (В терминах Бурбаки,^[9] «процедура дедукции» B-пространства из A-пространства.

Переход от «евклидова» к «топологическому» — забывающий. Топология различает непрерывные и разрывные отображения, но не различает прямолинейные и криволинейные. Евклидову структуру нельзя восстановить по топологии. Доказательство использует автоморфизм топологического пространства (то есть самогомеоморфизм), который не является автоморфизмом евклидова пространства (то есть не является композицией сдвигов, поворотов и отражений). Такое преобразование превращает данную евклидову структуру в (изоморфную) другую евклидову структуру; обе евклидовы структуры соответствуют одной топологической.

В отличие от этого, переход от «3-мерного евклидова» к «евклидову» не забывающий; евклидово пространство не обязано быть трёхмерным, но если оно трёхмерно, то оно полноценно, никакая структура не теряется. Иными словами, этот переход инъективен (однозначен), а предыдущий — нет (многие-к-одному). Инъективные переходы обозначаются стрелкой с зазубренным хвостом, «↣» вместо «→».

Оба перехода не сюръективны, то есть не каждое B-пространство получается из некоторого A-пространства. Во-первых, 3-мерное евклидово пространство — частный (не общий) случай евклидова пространства. Во-вторых, топология евклидова пространства — частный случай топологии (например, она обязана быть некомпактной, связной и т. д.). Сюръективные переходы обозначаются двухголовой стрелкой, «↠» вместо «→». См. рис. 4; там стрелка от «вещественного линейного топологического» к «вещественному линейному» двухголовая, поскольку каждое вещественное линейное пространство допускает хотя бы одну топологию, совместимую с его линейной структурой.

Такая топология в общем случае не единственна, но единственна для конечномерных вещественных линейных пространств. Для этих пространств переход и инъективен, и сюръективен, то есть биективен (см. стрелку от «конечномерного вещественного линейного топологического» к «конечномерному вещественному линейному» на рис. 4). Обратный переход существует (и может быть показан второй, обратной стрелкой). Два вида структур в этом случае эквивалентны. На практике между эквивалентными видами структур различий не делают^[10]. Эквивалентные структуры можно рассматривать как одну структуру, что показано большой рамкой на рис. 4.

Переходы, обозначаемые стрелками, согласованы с изоморфизмами. То есть два изоморфных A-пространства переходят в два изоморфных B-пространства.

Диаграмма на рис. 4 коммутативна. То есть все направленные пути с одинаковым началом и концом приводят к одному результату. Другие диаграммы ниже также коммутативны, кроме пунктирных стрелок на рис. 9. Стрелка от «топологического» к «измеримому» пунктирная по следующей причине: «Чтобы превратить топологическое пространство в измеримое, его наделяют σ-алгеброй. σ-алгебра борелевских множеств — самая популярная, но не единственная.» Сплошная стрелка обозначает преобладающий, так называемый «канонический» переход, который естественно напрашивается и широко используется, часто неявно, по умолчанию. Например, говоря о непрерывной функции на евклидовом пространстве, обычно не указывают его топологию явно. На самом деле существуют и альтернативные топологии, например, тонкая топология; но они всегда указываются явно, поскольку гораздо менее известны, чем основная топология. Пунктирная стрелка указывает, что существует несколько переходов, и ни один не является преобладающим.

Два основных типа пространств — это линейные пространства (также называемые векторными пространствами) и топологические пространства.

Линейные пространства имеют алгебраическую природу; существуют вещественные линейные пространства (над полем вещественных чисел), комплексные линейные пространства (над полем комплексных чисел) и, более общо, линейные пространства над любым полем. Каждое комплексное линейное пространство также является вещественным линейным пространством (последнее подлежит первому), поскольку каждое комплексное число можно задать парой вещественных. Например, комплексная плоскость, рассматриваемая как одномерное комплексное линейное пространство, может быть сведена к двумерному вещественному линейному пространству. В отличие от этого, вещественная прямая может рассматриваться как одномерное вещественное линейное пространство, но не как комплексное. Более общо, векторное пространство над полем также имеет структуру векторного пространства над подполем этого поля. Линейные операции, заданные в линейном пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как прямые (и плоскости, и другие линейные подпространства); параллельные прямые; эллипсы (и эллипсоиды). Однако невозможно определить ортогональные (перпендикулярные) прямые или выделить окружности среди эллипсов, поскольку в линейном пространстве нет структуры, подобной скалярному произведению, позволяющей измерять углы. Размерность линейного пространства определяется как максимальное число линейно независимых векторов или, что то же, как минимальное число векторов, порождающих пространство; она может быть конечной или бесконечной. Два линейных пространства над одним полем изоморфны тогда и только тогда, когда они одной размерности. n-мерное комплексное линейное пространство также является 2n-мерным вещественным линейным пространством.

Топологические пространства имеют аналитическую природу. Открытые множества, заданные в топологическом пространстве по определению, приводят к таким понятиям, как непрерывные функции, пути, отображения; сходящиеся последовательности, пределы; внутренность, граница, внешность. Однако равномерная непрерывность, ограниченные множества, фундаментальные последовательности, дифференцируемые функции (пути, отображения) остаются неопределёнными. Изоморфизмы между топологическими пространствами традиционно называются гомеоморфизмами; это взаимно однозначные соответствия, непрерывные в обе стороны. Открытый интервал (0,1) гомеоморфен всей вещественной прямой (−∞,∞), но не гомеоморфен замкнутому интервалу [0,1] или окружности. Поверхность куба гомеоморфна сфере (поверхности шара), но не гомеоморфна тору. Евклидовы пространства разной размерности не гомеоморфны, что кажется очевидным. Размерность топологического пространства трудно определить; используются индуктивная размерность (основанная на наблюдении, что размерность границы геометрической фигуры обычно на единицу меньше размерности самой фигуры) и покрывающая размерность Лебега. В случае n-мерного евклидова пространства обе топологические размерности равны n.

Всякое подмножество топологического пространства само является топологическим пространством (в отличие от линейных пространств, где только линейные подпространства являются линейными пространствами). Произвольные топологические пространства, изучаемые общей топологией (также называемой точечной топологией), слишком разнообразны для полной классификации с точностью до гомеоморфизма. Компактные топологические пространства — важный класс топологических пространств («вид» этого «типа»). Всякая непрерывная функция на таком пространстве ограничена. Замкнутый интервал [0,1] и Расширенная вещественная прямая [−∞,∞] компактны; открытый интервал (0,1) и прямая (−∞,∞) — нет. Геометрическая топология изучает многообразия (ещё один «вид» этого «типа»); это топологические пространства, локально гомеоморфные евклидовым пространствам (и удовлетворяющие ряду дополнительных условий). Низкоразмерные многообразия полностью классифицированы с точностью до гомеоморфизма.

Обе структуры — линейная и топологическая — подлежат структуре линейного топологического пространства (или топологического векторного пространства). Линейное топологическое пространство — это одновременно вещественное или комплексное линейное пространство и топологическое пространство, причём линейные операции непрерывны. Поэтому линейное пространство, которое также является топологическим, не обязательно является линейным топологическим пространством.

Всякое конечномерное вещественное или комплексное линейное пространство является линейным топологическим пространством в том смысле, что на нём существует единственная топология, делающая его линейным топологическим пространством. Две структуры, «конечномерное вещественное или комплексное линейное пространство» и «конечномерное линейное топологическое пространство», эквивалентны, то есть взаимно подлежащи. Соответственно, всякое обратимое линейное преобразование конечномерного линейного топологического пространства является гомеоморфизмом. Три понятия размерности (одно алгебраическое и два топологических) совпадают для конечномерных вещественных линейных пространств. В бесконечномерных пространствах, однако, различные топологии могут соответствовать одной линейной структуре, и обратимые линейные преобразования, как правило, не являются гомеоморфизмами.