Правильный четырёхмерный многогранник

Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.

Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника большой стодвадцатиячейник, большой звёздчатый стодвадцатиячейник, великий шестистотячейник и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.

Существование правильного 4-мерного многогранника ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$, которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)<\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right),}$

чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.

Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.

Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.

Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных ячеек, которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.

Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.

Имена	Рисунок	Семейство	Шлефли Коксетер	Вершин	Рёбра	Грани	Ячейки	Верш. фигура	Двой- ственный	Группа симметрии
пятиячейник пятигранник 4-симплекс		n-симплекс (Семейство An)	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	(самодвой- ственный)	A4 [3,3,3]	120
восьмиячейник тессеракт 4-куб		n-куб (Семейство Bn)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-ячейник	B4 [4,3,3]	384
шестнадцатиячейник 4-ортоплекс		n-ортоплекс (Семейство Bn)	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-ячейник	B4 [4,3,3]	384
двадцатичетырёхъячейник октаплекс полиоктаэдр (pO)		Семейство Fn	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	(самодвой- ственный)	F4 [3,4,3]	1152
стодвадцатиячейник додекаконтихорон додекаплекс полидодекаэдр (pD)		n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn)	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-ячейник	H4 [5,3,3]	14400
шестисотъячейник тетраплекс политетраэдр (pT)		n-пятиугольный многогранник (Семейство Hn)	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-ячейник	H4 [5,3,3]	14400

Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) ^[1].

Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон. ^[2][3][4]

Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0}$

где N_k означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).

Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.

A4 = [3,3,3]	BC4 = [4,3,3]		F4 = [3,4,3]	H4 = [5,3,3]
Пятиячейник	8-ячейник	16-ячейник	24-ячейник	120-ячейник	600-ячейник
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
3-мерные ортографические проекции
тетраэдральная оболочка (центрировано по ячейке/вершине)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубическая оболочка (центрировано по ячейке)	кубооктаэдральная оболочка (центрировано по ячейке)	Усечённый ромбический ромботриаконтаэдр (центрировано по ячейке)	пентакиикоси- додекаэдральная оболочка (центрировано по ячейке)
Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция)
центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по ячейке	центрировано по вершине
Каркасы стереографических проекций (3-сфера)

Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников ^[5]. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.

Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции:

1. stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму)
2. greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр)
3. aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в великий 600-ячейник)

Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} (икосаэдральный стодвадцатиячейник) и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.

Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H₄) гексакосихорную симметрию. Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.

Примечание:

• Существует два уникальных расположения вершин, встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике.
• Существует четыре уникальных расположения рёбер , которые показаны как каркасы ортографических проекций.
• Существует семь уникальных расположения граней, показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.

Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные рёберные фигуры и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.

Название Аббревиатура Конвея	Ортогональная проекция	Шлефли Коксетер	Ячейки {p, q}	Грани {p}	Рёбра {r}	Вершины {q, r}	Плот- ность	χ
Икосаэдральный стодвадцатиячейник полиикосаэдр (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480
Малый звёздчатый стодвадцатиячейник звёздчатый полидодекаэдр (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Большой стодвадцатиячейник большой полидодекаэдр (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Великий стодвадцатиячейник великий полидодекаэдр (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой звёздчатый полидодекаэдр (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой звёздчатый полидодекаэдр (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Большой великий стодвадцатиячейник большой великий полидодекаэдр (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Большой икосаэдральный стодвадцатиячейник большой полиикосаэдр (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Великий шестисотъячейник великий политетраэдр (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой великий звёздчаты полидодекаэдр (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0