Правильный семиугольник

Пусть в равнобедренном треугольнике ${\displaystyle ABC}$ каждый из углов при основании ${\displaystyle AC}$ втрое больше угла ${\displaystyle B}$ при вершине. Так как ${\displaystyle A+B+C=d}$ и ${\displaystyle A=C=3B}$, то ${\displaystyle 7B=2d}$ и ${\displaystyle B={\frac {2}{7}}d}$. Дуга ${\displaystyle AC={\frac {4}{7}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {2\pi }{7}}}$, т. е. ${\displaystyle AC}$ будет стороной правильного вписанного в круг семиугольника. Пусть прямые ${\displaystyle CF}$ и ${\displaystyle CI}$ делят угол С на три равные части ${\displaystyle ACD}$, ${\displaystyle DCE}$, ${\displaystyle ECB}$. Треугольники ${\displaystyle ACD}$ и ${\displaystyle ABC}$ подобны и ${\displaystyle CD=AC}$. Опустим из ${\displaystyle C}$ перпендикуляр ${\displaystyle CH}$ на ${\displaystyle AB}$. Пусть ${\displaystyle AB=a}$ и ${\displaystyle AC=CD=x}$. Тогда ${\displaystyle a:x=x:AD}$, следовательно, ${\displaystyle AD={\frac {x^{2}}{a}},AH={\frac {AD}{2}}={\frac {x^{2}}{2a}}}$. Треугольник ${\displaystyle CEB}$ равнобедренный, т. е. ${\displaystyle EC=EB}$. Треугольник ${\displaystyle ACE}$ также равнобедренный ${\displaystyle AC=AE=x}$. Тогда ${\displaystyle CE=BE=AB-AE=a-x}$. Но ${\displaystyle CE^{2}=AC^{2}+AE^{2}-2\cdot AE\cdot AH=2AC^{2}-2\cdot AC\cdot AH}$, или ${\displaystyle (a-x)^{2}=2x^{2}-2x\cdot {\frac {x^{2}}{2a}}}$, и, следовательно, вопрос об отыскании стороны семиугольника ${\displaystyle x}$ приведён к уравнению третьей степени: ${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-2a^{2}x+a^{3}}$.■

Точка ${\displaystyle E}$ является первой из засечек, сделанных на окружности радиусом ${\displaystyle AD={1 \over 2}AB}$ (рис. 3). Найдём величину угла ${\displaystyle AOE=\alpha }$. Пусть ${\displaystyle R}$ — радиус окружности, тогда ${\displaystyle AE=AD={{\sqrt {3}} \over 2}R}$. Из равнобедренного треугольника ${\displaystyle AOE}$ имеем ${\displaystyle AE=2R\sin {\alpha \over 2}}$, откуда ${\displaystyle \sin {\alpha \over 2}={AE \over 2R}={{\sqrt {3}} \over 4}}$. По таблицам синусов находим, что ${\displaystyle 51^{\circ }19'<\alpha <51^{\circ }20'}$. Величина центрального угла ${\displaystyle \alpha }$, опирающегося на сторону правильного семиугольника ${\displaystyle AE}$, равна ${\displaystyle {360^{\circ } \over 7}}$, т. е. ${\displaystyle 51^{\circ }25'<\alpha <51^{\circ }26'}$. Из приведённых неравенств следует, что центральный угол, опирающийся на дугу ${\displaystyle AE}$, отличается от центрального угла правильного семиугольника не более чем на ${\displaystyle 7'}$. Поэтому величины дуг окружности между вершинами построенного семиугольника и соответствующими вершинами правильного семиугольника с вершиной в точке А не превосходят ${\displaystyle 6\cdot 7'=42'<1^{\circ }}$. Столь малые отклонения позволяют утверждать, что предложенный способ позволяет построить «практически правильный» семиугольник.■